线性代数I(H)知识点总结

上学期，由于老师的问题，我几乎是自学的线性代数。
当时真的很迷茫(现在也是，只是迷茫的对象不同了)，那时我真的怕自己会挂，还好熬过来了。
这是我当时总结的相关知识点，但是更主要的是做题技巧。
今天趁着有空将其整理出来，希望能给像当初自己一样在黑暗中前行的同学带来一点灵感。

线性映射

1. 验证是不是线性映射，注意 $d(x_1,x_2,x_3)$里面 $(x_1,x_2,x_3)$是指一个向量，实际上也可以写为 $d(a)$。验证时设两个向量 $a,b$，要求 $d(e_1a+e_2b)=e_1d(a)+e_2d(b)$, $e_1,e_2$是任意常数

2. 求对称变换，即d(a)是向量a关于一个平面（或直线）对称的向量，选基时可以用自然基，然后给出变换后基的坐标，也可以用将向量 $d(a)$用那个平面法向量 $w$表示， $d(a)=-a+2(a,w)w$

3. 向量和坐标是完全不同的，坐标代表不了向量，简单来说,(0,1)没有任何含义，而 $(0,1)(e_1,e_2)^T=e_2$才是有意义的向量
   但是为了方便，等式两边的向量可以约去，只代表坐标间的关系
   空间里的变换是基的变换，一种是经过映射以后变了基，另一种是直接给出另一组基（新的基可能也能用原来的基表示），要求向量用新基表示
   变了的基可能是原来基的线性组合，这时就会出现变换矩阵。
   基是一个空间中的向量，永远无法用坐标表示。
   坐标只是基的线性组合的记录，有时省略了基，事实上基仍存在。
   映射以后坐标没变，基变了，为了用另一组基表示（比如原来的基）所以将坐标变换一下。

4. 坐标与基的关系(重点)
   $\begin{gathered} a=(a_1,a_2,...a_n)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\...\\x_n \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\...\\x_n \end{pmatrix} \end{gathered}$
   $a_1,..a_n$都是列向量,也就是基，是单位正交向量的线性表示，其实严格的写A前面应该写出向量的。
   同一个向量用不同的基表示：抓住不变的是向量本身，分别用两组基写出上面的式子
   不同的基的转化(注意前面的向量被省略)
   $(v_1,v_2,...v_n)=(u_1,u_2,..u_n)A$
   则 $v_i=a_{1i}u_{1}+a_{2i}u_{2}+...a_{ni}u_{n}=\sum_{j=1}^{n}[A]_{ji}u_j$
   这个转换及其关键,用矩阵乘法即可验证,这个式子说明了矩阵的一列是基的某一对向量间的线性组合的关系

5. 线性映射与基的关系：
   如果题目说映射关于基 $B_1$的矩阵，就是指一组基映射后用同一组基表示
   $d(a_1,a_2,...a_n)=(a_1,a_2,..,a_n)A$
   如果题目说映射关于 $B_1，B_2$的矩阵，就是指映射后用另一组基表示。
   $d(a_1,a_2,..a_n)=(b_1,b_2,..b_n)A$

6. 求基 ${b_1,...b_n}$下映射 $d$对应的矩阵 $A$的时候先写出 $d(a_1),d(a_2),..d(a_n)$，并用 $b_1,b_2,..b_n$表示，然后根据前面说的两组基的关系就可以直接写出A了

7. 已知同一组基表示的映射，想换一组基，变换矩阵是C,B=AC
   $(b_1,b_2,..b_n)=(a_1,a_2,...a_n)C$=> $(b_1,b_2,..b_n)C^{-1}=(a_1,a_2,...a_n)$,带入 $d(a_1,a_2,..a_n)=(a1,a2,...an)A$
   $d((b_1,b_2,..b_n))C^{-1}=(b_1,b_2,..b+n)C^{-1}A$,=> $d(b_1,b_2,..b_n)=C^{-1}AC(a_1,a_2...a_3)$
   求 $C^{-1}AC$可以根据他的含义：两组矩阵的变换阵求

8. p(x)的基是 $1,x,x^2,...$， $p(x+1)-p(x)$的结果算出来用基表示(这个例子很好的说明了基和坐标的关系，诸如 $x^n$也可以作为向量，说明向量和坐标不是一回事。

9. 注意 $p(x)_n$最高是n-1次，n是指项数

10. d是 $R_n$到自身的线性映射，说明基就是 $e_1,....e_n$

11. 求值域：把 $(1,0,0,0)(0,1,0,0)...$这种自然基分别带入d，求出 $d(a_1),d(a_2),...$再检查是否线性相关(这里说的基是指坐标，严格的说基的前面应该是向量)

相似矩阵

1. （充分）特征值相同注意特征值不一定相似

2. （充要）A~B<=>存在P, $P^{-1}AP=B$

3. 秩相同

4. 证AB ~ BA,只需 $A^{-1}ABA=BA$即可

5. 矩阵相似其实表示同一个在线性变换取了不同的基，P是两个基的变换矩阵，A是映射对应的原来的矩阵

对角化

1. 检查k重根是否有K个特征值，如果少了就一定不能对角化（事实上充要条件是有n个线性无关的特征向量）

2. 一般来说可以通过给的条件解出 $\lambda$然后再用方程组的知识或者矩阵秩的知识验证解空间的维数

3. 上三角矩阵可以直接看出特征解,即主对角线元素

4. 可对角化矩阵与一个对角阵相似

相合

存在P, $P^TAP=B$,
A与B合同

相抵

存在P,Q PAQ=B,
A与B相抵，即秩相同

对角阵

1. 转置后不变

2. 与一行与一列相乘还是对角阵

3. 求逆后主元求逆

4. 可以直接看出特征值

5. 对角阵相乘可交换

正交阵

1. $AA^T=E$

2. 列向量是单位正交基

3. 证是正交阵：对于 $(a_1,a_2,..a_n)， a_i$是列向量，证 $(a_i,a_j)=0$(i不等于j)，1(i==j) ，一般需要连加
   可能是已经有一组基是正交阵时可以用

4. 如果A,B都是正交阵，AB也是

代数余子式

1. 要证每个数等于代数余子式就是证： $A^T=A^*$

2. 遇到代数余子式一定用 $AA^*=|A|E$这个公式

3. 出现 $|A|^n$应该是 $|AA^*|=||A|E|=|A|^n$所以 $|A^*|=|A|^{n-1}$

4. 如果 $|A|=0$,那么 $AA^*=0,与AX=0$联系起来用解空间的维数公式

逆矩阵

1. 对角阵的逆矩阵diag(a1,a2,…,an)-1=diag(a1-1,…an-1)

2. 主对角元非0的上（下）阵逆矩阵还是上（下）阵

3. 证明可逆就是证明行列式不是0，如果有逆矩阵，可以提出一点东西

4. A为可逆矩阵，则r(AB)=r(B)

5. 伴随矩阵法求行列式：逐个求伴随矩阵的行列式，再加符号，再转置，三步不能忘

6. 求A的逆 $(A,E)->(E,A^{-1}),(A,B)->(E,A^{-1}B)$只能行变换

7. 求A的逆，可以经过行变换（左乘一些初等矩阵）化成对角阵，然后求逆

8. 对角方块阵的逆是对角矩阵求逆

9. 问是否可逆也可以求逆矩阵

10. 如何将可逆矩阵化成单位阵：写成两个相乘是E的形式A…=E

行列式

1. 出现|A|=1可以直接带入

2. 提到行列式某行与某行成比例想到|A|=0

3. 化简含参数的行列式的时候不能约掉，因为不能保证不是0

4. 如果 A是实对称阵，求|A-2E|这种，可以用Q是正交阵，所以|Q|=1
   $|Q^{-1}||A-2E||Q|=|Q^{-1}(A-2E)Q|=|Q^{-1}AQ-2E|=|diag(a1,...,an)-2E|$

5. 每个元素都是平方，考虑相邻项相减，再相减

6. 一个角是0元考虑把化abc化为0，整个化为上三角
   $\begin{gathered} \begin{pmatrix} b \\0&a\\0&0&c\\ \end{pmatrix} \quad \end{gathered}$

7. 如果一行首个非0元素是1一定换到最上面

8. 行列式如果是上下三角的，直接对角元乘就可以，如果是反对角的，要加(-1)^n，n是阶数，方块阵是k*m次

9. 行列的和如果相同的可以简便计算

10. 带n次行列式先算n=1,2再用数学归纳法

11. 范德蒙行列式，直接
    $\prod_{1\le j<i\le n}(i-j)$

12. 对角线不同，其他元素都相同，每一行减第一行，（减完只剩第一列和对角线），然后每一列乘a1/aii加到第一列，按第一列展开

13. 行列式里的元素都是和的形式，比如aij+bij，拆开寻找非0项：两个是刚好是aij,bij，剩下每行里只能一个选a，其他必须选b

14. n阶应该写4个找规律

15. |A/3|=|AE/3|=|A||E/3|=|A|/3^n

16. 可以的话在右下角写上阶数

17. 有三条或者两条对角线：将右下角那一项展开，得到递推公式，如果是三条对角线就要展开两次

18. 范德蒙行列式跳一行：后一行乘-x1加到前一行，跳的那行后一行乘-x1^2，把相减项提出来，按最后拆成一个n-1阶的原来形式，一个是范德蒙，再用数归

19. 主对角和主对角两侧是三个字母的下一行减上一行，再用递推公式，再转置，转置后值不变，列方程求解

20. 反对称矩阵， $|A^T|=|-A|=|A||-E|=(-1)^{n}|A|$

21. 凡是有系数就要用E来处理，矩阵没关系

22. 上下三角方块阵的行列式可以直接对角相乘

23. 别的矩阵要变换（不是AD-BC而是要变换）遇到 $|\lambda-AB|=|\lambda-BA|$之类
    构造
    $\begin{gathered} \begin{vmatrix} \lambda E &B\\A&E\end{vmatrix} \quad \end{gathered}$

再用下面这个方法处理，分别消掉A和消掉B,出现两个式子他们值一样

$\begin{gathered} \begin{vmatrix}A &B\\C&D\end{vmatrix} \quad=\begin{vmatrix}E &O\\-CA^{-1}&E\end{vmatrix}\begin{vmatrix}A &B\\C&D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A &B\\ O&D-CA^{-1}B\end{vmatrix}=|A||D-CA^{-1}B| \quad \quad \quad \end{gathered}$

24. |AB|=|A||B|

25. 如果是前后两项是等比，主对角线有一点不同，则按照范德蒙的方法先后行乘公比

26. 如果相邻行相减不行的话再相邻列相减。

线性方程组问题

1. AX=0有解的情况：r(A,b)=r(A)

2. 有解：b可被A的列向量线性表示

3. 无解：A的秩小于b

4. 已知解空间求A,设A的行向量是(a1,a2,.,an)与N(A)正交，然后解就可以，解出几组就是几行

5. 任意向量是AX=0的解，就是A的核是R

6. 利用公式r(A)+r(N(A))=n或者r(A)+r(kerd)=n

可交换矩阵

1. 即证AB=BA

2. 可能会利用到对角阵可交换的性质

转置

1. AT+BT=(A+B)T 但是逆不成立

2. 证明(A1A2…An)T=AnT…A2TA1T用数学归纳法，再用(A)ij ，A第i行j列给元素分析

多项式

1. 考虑An到底是几，尤其是P-1AP这种

特征值

1. 一定要写出这个
   $A(x_1,x_2,...x_n)=(x_1,x_2,...x_n)\begin{gathered} \begin{pmatrix} \lambda &&\\&\lambda&\\&&\lambda\end{pmatrix} \quad \end{gathered}$

2. 出现A2或者Ak就将X-1AX=入开K次方，X-1AkX=入k(入是常数)，AkX=入kX

3. 上三角矩阵特征值就是主对角元（因为|入E-A|=0，就是入-aii=0）

4. 已知特征值和特征向量，检查特征向量会不会相关

5. 遇到证明对角阵由0和1组成就是证特征值只有1或者0，具体方法同2

6. 不同特值对应特征向量正交（取转置，右乘对应的，相减，注意对角阵转置以后不变）

7. 特征向量是入-d的核，与秩有关考虑(入-d)X=0这个方程

8. 求特征值
   先列着公式看看能不能算出来，一般也就列原始公式了

求 $A^n$的方法

1. $用P^{-1}diag(a_1,a_2...,a_n)P=A$求
   $diag(a_1,...a_n)^n=diag(a_1^n,...a_n^n)$

2. 如果能写成A=kE+B,B是一个幂零矩阵，那么 $A^n=k^nE+nk^{n-1}B+...+0$

矩阵以及秩

1. max{r(A),r(B)}<=r(A,B)<=r(A)+r(B)

2. $r(A)+r(B)=r\begin{gathered} \begin{pmatrix} \lambda A &0\\0&B\end{pmatrix} \quad \end{gathered}$
   （原式经过行列变换写成右上角En+Em,再拆开来，说明AB能化成右上角是En与Em的形式）

3. E是n阶单位阵
   $n+r(B)=r\begin{gathered} \begin{pmatrix} \lambda E &0\\0&B\end{pmatrix} \quad \end{gathered}$

4. （拆成三个矩阵）
   $r(A)+r(B)\le r\begin{gathered} \begin{pmatrix} A&0 \\B&C\end{pmatrix}\le r(A)+r(B)+r(C) \quad \end{gathered}$

5. r(A+B)<=r(A)+r(B)

6. r(AB)<=min{r(A),r(B)}(只需证N(AB)包含N(B)即可)

7. r(A)=r(AT)=r(ATA)

8. AB=0,r(A)+r(B)<=n (用r(B)与r(N(A))证)

9. 有时候可以拆成多个

10. 证明存在AMB=E,或者AMB=O之类，考虑
    $\begin{gathered} \begin{pmatrix} E &0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 &E\\0&0\end{pmatrix}=E \quad \quad \end{gathered}$ $\begin{gathered} \begin{pmatrix} E &0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 &0\\0&E\end{pmatrix}=0 \quad \quad \end{gathered}$
    就是把AB左右乘矩阵PQ化成那两个形式，然后用PQ表示M

11. 遇到方块阵 $A[B,C]^T$则要把A拆成 $[A_1,A_2]$,原式就是 $A_1B+A_2C$

12. $X^TY=2$,转置可推出， $Y^TX=2$

13. 方块阵如何化成单位阵，只要把左下与右上化成0就行，比如上一行A,下一行B,上一行乘 $-BA^{-1}$加下来，要乘默认乘在左边（左行）然后再在左边乘一个初等矩阵就可以了

14. 题目中没有1/a，自己做的时候考虑a可不可能为0

15. 倍加阵 $E_{ij}(m)$，把m倍i行加到j行，逆矩阵是 $E_{ij}(-m)$

16. 让你用初等矩阵表示一个方块阵，就是把初等矩阵化成单位阵，求逆就是求那些初等矩阵的逆就可以了

17. 如果求方块阵的逆只要化成对角阵即可

18. 求方块阵的逆还可以用 $(A,E)=>(E,A^{-1})$的方法，只是E指的是
    $\begin{gathered} \begin{pmatrix} E &0\\0&E\end{pmatrix} \quad \end{gathered}$

核

1. 求核：a=a1x1+a2x2…+anxn
   d(a)=x1d(a1)+x2d(a2)+…xnd(an)=(d(a1),d(a2),…,d(an))(x1,x2,x3…xn)T=0 =>
   (a1,a2,…,an)A(x1,x2,x3…xn)T=0
   所以求AX=0即可，A是变换矩阵

共轭矩阵：用共轭的性质，可以随意拆开来，提出来

空间几何

1. 距离加绝对值，一定有两个

2. 交点用直线参数式中t来算

3. 直线投影到面上的方程

4. 直线在坐标面上的投影方程

5. 关于面的对称点与对称直线

6. 平分面（也有两个）用点到两面距离相同做

7. 过两个面交线的面系

8. 判断位置关系，用方向向量，判断是否交上了，两个地方各取一点

9. 两个平面确定直线，用叉乘

Tip

1. 有关A+B,A-B,可能利用(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B)

2. $\begin{gathered} \begin{pmatrix}A &0\\0&C\end{pmatrix}=> \begin{pmatrix} B_1AB_2 &0\\0&B_1AB_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}B_1&0\\0&B_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A &0\\0&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B_2 &0\\0&B_2\end{pmatrix} \quad \end{gathered}$

3. 求变换阵：Q-1AQ=对角阵,小心求的是正交阵，所以Q还要正交化
   具体求的方法：
   $A(x_1,x_2...x_n)=\begin{gathered}\begin{pmatrix}\lambda&& \\&\lambda\\&&\lambda \end{pmatrix}(x_1,x_2,..x_n) \end{gathered}$

4. 遇到内积组成的矩阵，用内积的线性性，出第一行外每一行乘-k加上去把（a1,a1）化成(0,a1)=0

5. 内积一定转换成(a,b)=aTb比如证明相交的时候

6. 化简行列式的时候数字太大可以两行减一下，虽然不能化出1，但是可以减小数字

7. 证充要条件一定要证充分性和必要性

8. A=B,主要考虑证A属于B,B属于A

9. 对称矩阵一定可以对角化，如果取的好一点可以使对角元全部是01-1叫做相合标准型
   但是如果是 $f(x_1,x_2,...x_n)=X^TAX$,A一定对称，可以对角化

10. 规则的矩阵一定想想能不能化成两个矩阵相乘，如果可以，计算行列式可能可以左右分别乘一个的逆，化成交换，然后直接算出结果

11. ||A||一定要想到ATA

12. 看起来不能化简的行列式阶数又不高，就直接展开。

13. 一个矩阵看看能不能改写成两个的乘积，或者把行列式改写成方块矩阵的形式，

14. 遇到了对称矩阵一定要化成对角阵。

15. 正负惯性指数之和是秩，可逆也可用这个算秩。

16. $a^s$一定想到 $|aE^s|$，

17. |E-AB|与|E+AB|用方块阵分别消去A与B

18. 判断正定
    有可能真的通过矩阵的手动计算去证，如果想不到别的方法了就这样
    如果是正定的充要条件是n阶主子式大与0

19. 对于求逆求值这种看看能不能化成对角阵。

20. 告诉变换以后的空间，求变换，d(x1,x2,x3)=x1a1+x2a2

21. 如果是空间，用任意一个空间中向量可以代表空间。
    Imd,kerd这种用一个向量去表示，这个向量满足什么条件。

22. 同构就是形成了双射，和满秩差不多，不过是形容线性映射的

23. 求线性映射就是求d(a)=? 在线性映射的写法中还是用x1a1+x2a2+… 比较方便，不要用矩阵写法了

24. 不要去理解条件，先看要证的结论，然后推几步看看能不能把条件套进去。

25. 证明映射可逆只能证双射又是满射

26. 满射是任意A，存在B，B映射为A，然后找B，单射也一样，是找A

27. 问线性映射的秩，考虑是满射还是单射单射可以用反证，假如d(x1)=d(x2)，x1不等于x2，矛盾，考虑用维数公式。

28. 多项式考虑线性相关，映射的k次是一组基。

29. 有多项式参与的考虑线性映射的线性性，可逆也可去求出逆是什么就证出来可逆。

30. 一个映射证明是同构映射，要先证是线性映射

31. 遇到n阶可以用数学归纳法结合方块阵来证

32. 验证是加法交换群 1加法封闭，2结合律 ，3交换律，4单位元，5逆元

33. 注意在方块阵中有些不是数字而是矩阵，是1*m的矩阵

34. 可逆充要条件是行列式不为0

35. 求可逆阵，如果给了多项式一般是化简配方，如果要求的形式比较复杂但是给的条件不多，可能是构造主要看AB是乘在一起还是在两端。

36. 求实反对称阵的特征值可以 $AX=\lambda X，X^TA^T=X^T\lambda$，取转置，相加。右乘X，把A消去
    看到对称阵马上想到对角阵

37. 有关秩的证明，已知的能求秩的只能是单位阵，所以化成左上角是单位阵，左右乘初等矩阵，初等矩阵的秩是n和行列式是1因为行列变换不会改变秩和行列式的值

38. 可逆矩阵可以化成单位阵，也可化成对角阵

39. 如果两个矩阵是相乘形式，平方一定写出来，中间先算。

40. 非对称阵化成一个角是单位阵的去处理。

41. 注意是PAQ是对角阵，就是化完以后的结果是对角阵

42. 注意方块阵里面矩阵是否真的可逆，这也要小心。

43. LU分解是用行变换化成上三角阵

44. 行列式遇到有两条斜线有值，第一行或者最后一行不为0那么直接从第一行开始乘一个数加到第二行把非主对角线化为0
    或者展开用递归公式。

45. 注意范德蒙是从第一行为1开始的，如果不是要提出一点东西里。

46. 注意有非0解只需秩小于n

47. 注意对角化的过程中不改变行列式的值，所以与特征值关系最紧密的是行列式。行列式的值就是特征值之积

48. 注意如果说有n个不同的特征值那么可能意味着每个特征值对应的特征向量只有一个。两个是相关的

49. 如果是 $B=a^Ta$这种求特征值，可以用 $B^2=KB$然后求特征值，也可直接列公式强算。

50. 看到有行列式 $|A-2E|$这种有一项是E，直接想着乘正交阵进去，一般只有出现是两个行列式相等或者两项都是A，B才想着拆开

51. 找landa的关系的时候只要把A消去就可以了。

52. 如果没给可逆也要小心