行列式
n阶行列式的计算：
其中t为排列\(p_1p_2p_3 \cdots p_n\)的逆序数，由于这样的排列共有\(n!\)个，所以n阶行列式共有\(n!\)项。
行列式的性质：
-
行列式与他的转置行列式相等
-
对换行列式的两行/列，行列式变号
可推出：如果行列式有两行/列完全相等，则行列式等于0
-
行列式的某一行/列中多有元素乘以k，等于k乘以此行列式
-
行列式中如果有两行/列元素成比例，则此行列式等于0
-
把行列式的某一行/列元素同乘以某数k，再加到另一行/列对应元素上，行列式不变
-
如下：
\[若D=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1}+a_{i1}^, & a_{i2}+a_{i2}^, & \cdots & a_{in}+a_{in}^, \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right| \]
行列式等于它的任一行/列各个元素与其对应得代数余子式乘积得和。
矩阵的运算
-
矩阵加法：两同型矩阵对应元素相加。
-
数与矩阵相乘：等于该矩阵所有元素同乘该数。
-
矩阵与矩阵相乘：如\(AxB\)结果的第i行j列元素为A的i行与B的j列对应元素相乘再相加。
-
矩阵的转置：
\[(A^T)^T=A\\ (A+B)^T=A^T+B^T\\ (\lambda A)^T=\lambda A^T\\ (AB)^T=B^TA^T \] -
方阵的行列式：
- 伴随矩阵：其中\(A_{ij}\)为\(|A|\)的代数余子式
\[矩阵A的伴随矩阵A^*= \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{matrix} \right] \\ 可得：AA^*=A^*A=|A|E \]
逆矩阵：
定义：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使得\(AB=BA=E\)，那么称A可逆，B为A的逆矩阵。
-
若A可逆，则\(|A| \neq 0\)
-
若\(|A| \neq 0\)，则:
\[A^{-1}=\frac{A^*}{|A|} \]
当\(|A|=0\)时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由以上两定理可知：
A是可逆矩阵的充分必要条件是\(|A| \neq 0\)，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
逆矩阵满足下述运算规律：
逆矩阵的初步运用：
设\(\varphi (A)=a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m\)为矩阵A的m次多项式。
-
如果$ A=P\Lambda P^{-1} \(，则\) A^k = P\LambdakP{-1} $，从而：
\[\begin{align} \varphi(A) & = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m \\ & = Pa_0EP^{-1} + Pa_1\Lambda P^{-1} + \cdots + Pa_m\Lambda^m P^{-1} \\ & = P(a_0E + a_1\Lambda + \cdots + a_m\Lambda^m)P^{-1} \\ & = P \varphi(\Lambda)P^{-1} \end{align} \] -
如果\(\Lambda = diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)为对角矩阵，则\(\Lambda^k = diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k)\)，从而：
\[\begin{align}\varphi(\Lambda)& = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m\\& = \left[\begin{matrix} \varphi(\lambda_1) \\ &\varphi(\lambda_2)\\ &&\ddots\\ &&&\varphi(\lambda_n)\end{matrix}\right]\end{align} \]
克拉默法则：
- 如果线性方程的系数矩阵A的行列式不等于零，则方程组有唯一解：
\[x_n = \frac{|A_n|}{|A|} \]
分块矩阵：
- 转置：
- 分块对角矩阵：\(A_i\)是方阵，则如下A分块矩阵为分块对角矩阵
分块对角矩阵有如下性质：
矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换：
-
如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A与B行等价。
-
如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，则称矩阵A与B列等价。
-
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价。
-
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵乘积仍然可逆。
行阶梯形矩阵：非零行在零行上面，非零行的首非零元素所在列在上一行的首非零元素所在列的右面。
行最简形矩阵：非零行的首非零元为1，首非零元所在的列的其余元均为0。
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵\(P_1P_2\cdots P_l\)使得\(A=P_1P_2\cdots P_l\)。
可推出：方阵A可逆的充要条件是A与E行等价。
矩阵的秩：
K阶子式与秩：在m行n列的矩阵A中，任取k行k列，位于这些行列交叉处的元素，不改变相对位置而得到的K阶行列式，称为A的k阶子式。A的最高阶子式设为r阶子式，那么r就为A的秩 ，记作R(A)=r 。
-
如果A行等价B，则A与B中非零子式的最高阶数相等。
-
\(R(A)=R(A^T)\)。
-
可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵。
-
初等变换作为一种运算，其深刻意义在于不改变矩阵的秩。
性质（不完全）：
- \(R(A+B) \leq R(A)+R(B)\)
- \(R(AB) \leq min\{R(A), R(B)\}\)
- 若\(A_{m,n}B_{n,l}=O\)，则\(R(A) + R(B) \leq n\)
- 若\(AB=O\)且A为满秩矩阵，则\(B=O\)。
线性方程组的解：
n元线性方程组\(Ax=b\) 。
- 无解充要条件是\(R(A)<R(A,b)\)。
- 唯一解充要条件\(R(A)=R(A,b)=n\)。
- 无穷解充要条件\(R(A)=R(A,b)<n\)
- \(Ax=0\)有非零解的充要条件是\(R(A)<n\)。
- 矩阵方程\(AX=B\)有解的充要条件是\(R(A)=R(A,B)\)。
- 设\(AB=C\)，则\(R(C)\leq min\{R(A), R(B)\}\)