向量组的线性相关性

向量组及其线性组合：

n个有次序的数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数\(a_i\)称为第i个分量。

若干行同维数的列向量（或者行向量）所组成的集合叫做向量组。
向量\(b\)能由向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充要条件是矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩等于矩阵\(B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)\)的秩。
设有两个向量组A和B，若B中的每一个元素都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A和B能够相互线性表示，则称这两个向量等价。
向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)线性表示（即\(AX=B\)有解）的充要条件是\(R(A)=R(A,B)\)。

推论：A与B等价的充要条件是\(R(A)=R(B)=R(A,B)\)
设向量组B能由向量组A线性表示，则\(R(B)\leq R(A)\)。

向量组的线性相关性：

给定向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)，如果存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)使

\[k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 \]
则称A是线性相关的，否则称为线性无关。
向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性相关的充要条件是\(R(A)<m\)。线性无关充要条件是\(R(A)=m\)。
若向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性相关，则向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m,a_{m+1}\)也线性相关。反之，若向量组B线性无关，则A也线性无关。
m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。
设向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性无关，而向量组\(B：a_1, a_2,\cdots,a_m,b\)线性相关，则向量b必能由A线性表示，且表示式唯一。

向量组的秩：
设有向量组A，如果在A中能选出r个向量\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，满足：

那么称\(A_0\)是向量组A中的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记为\(R_A\)。

推论：设向量组\(A_0：a_1,a_2,\cdots,a_r\)是向量组A的一个部分组，且满足：

那么，\(A_0\)便是A的一个最大无关组。

线性方程组的解的结构：

向量空间：

定义1：设V是n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘法两种运算封闭，那么称集合V为向量空间。

一般地，由向量组\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)所生成的向量空间为：

\[L=\{ x=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots +\lambda_ma_m \ |\ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m \in R \} \]

定义2：设V是一个向量空间，如果有\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性相关且V中任一向量都可以由\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性表示，那么\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)就称为向量空间V的一个基，r称为V的维数，并称V为r维向量空间。

定义3：如果向量空间V取定一个基\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，那么V中任意一个向量\(x\)可唯一地表示为

\[x=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots +\lambda_ra_r \ \]

数组\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)称为向量\(x\)在基\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)中的坐标。

在\(R^3\)中取定一个基\(a_1,a_2,a_3\)，再取一个新基\(b_1,b_2,b_3\)，设\(A=(a_1,a_2,a_3)\)，\(B=(b_1,b_2,b_3)\)。有：

\[(b_1,b_2,b_3)=(a_1,a_2,a_3)P \]

其中系数矩阵\(P=A^{-1}B\)称为旧基到新基的过渡矩阵。

设向量\(x\)在旧基和新基中的坐标分别为\(y_1,y_2,y_3\)和\(z_1,z_2,z_3\)，则有：

\[\left[\begin{matrix}z_1\\z_2\\z_3\end{matrix}\right]=P^{-1}\left[\begin{matrix}y_1\\y_2\\y_3\end{matrix}\right] \]

线性代数期末大总结II