线性代数主要研究有限维向量空间(finite-dimensional vector spaces) 上的线性映射(linear maps). 这些术语的含义我们以后会搞清楚的。线性代数系列博文将给出向量空间的定义，并讨论向量空间的基本性质。在线性代数中，如果研究实数的同时也研究复数，我们就会更深刻地理解各种定理，所以我们先介绍复数及其基本性质。

复数

你应该已经熟悉实数集 $\mathbb{R}$ 的基本性质。复数的发明使得我们可以对负数取平方根。关键思想是假定 $-1$ 有平方根，将 $\sqrt{-1}$ 计为 $i$ ，并按照通常的算数法则对 $i$ 进行计算。形式上，一个复数(complex number) 就是一个有序的数对 $(a,b)$ ，其中 $a,b\in \mathbb{R}$ , 但是我们把它写成 $a+bi$ . 把所有复数构成的集合记为 $\mathbb{C}$ :

$\mathbb{C}=\{a+bi: a,b\in \mathbb{R}\}$

如果 $a\in\mathbb{R}$ , 则将 $a+0i$ 和 $a$ 看成一样的。所以可以将 $\mathbb{R}$ 看作 $\mathbb{C}$ 的一个子集。我们也通常将 $0+bi$ 直接写成 $bi$ ，将 $0+1i$ 直接写成 $i$

$\mathbb{C}$ 上的加法和乘法定义如下：

$\begin{align*} &(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\ &(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \end{align*}$

其中 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ . 在这样的乘法中，你应该验证 $i^2=-1$ , 不要去背上面的复数乘法公式，只要记住 $i^2=-1$ 并利用通常的运算法则就可以推导出这组公式。

例：计算 $(2+3i)(4+5i)$

解：

$\begin{align*} (2+3i)(4+5i)&=2\cdot 4+ 2\cdot(5i)+(3i)\cdot 4+(3i)(5i)\\ &=8+10i+12i-15\\ &=-7+22i \end{align*}$

复数运算的性质

利用我们已经熟知的实数的性质，你应该验证， $\mathbb{C}$ 上的加法和乘法满足以下性质：

交换性 (commutativity): 对所有 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ , 都有 $\alpha +\beta =\beta +\alpha$ 和 $\alpha \beta =\beta \alpha$ ;
结合性 (associativity): 对所有 $\alpha ,\beta ,\lambda \in \mathbb{C}$ , 都有 $(\alpha +\beta )+\lambda =\alpha +(\beta +\lambda )$ 和 $(\alpha \beta )\lambda =\alpha (\beta \lambda )$ ;
单位元 (identities): 对所有 $\lambda \in \mathbb{C}$ , 都有 $\lambda +0=\lambda$ 和 $\lambda 1=\lambda$ ;
加法逆 (additive inverse): 对所有 $\alpha \in \mathbb{C}$ ，都存在唯一的一个 $\beta \in \mathbb{C}$ ，使得 $\alpha +\beta =0$ ;
乘法逆 (multiplicative inverse): 对所有 $\alpha \in \mathbb{C}$ 且 $\alpha \neq 0$ , 都存在唯一的一个 $\beta \in \mathbb{C}$ , 使得 $\alpha \beta =1$ ;
分配性 (distributive property): 对所有 $\alpha ,\beta ,\lambda \in \mathbb{C}$ , 都有 $\lambda (\alpha +\beta )=\lambda \alpha +\lambda \beta$ .

例：证明对所有 $\alpha ,\beta ,\lambda \in \mathbb{C}$ ，都有 $\alpha \beta =\beta \alpha$ .

解：假设 $\alpha =a+bi$ 同时 $\beta =c+di$ ，其中 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ . 根据复数乘法的定义有

$\begin{align*} \alpha \beta &= (a+bi)(c+di)\\ &=(ac-bd)+(ad+bc)i \end{align*}$

和

$\begin{align*} \beta \alpha&=(c+di)(a+bi)\\ &=(ca-db)+(cb+da)i \end{align*}$ .

根据以上两组公式以及实数加法和乘法的交换律得出 $\alpha \beta =\beta \alpha$ .

定义： $-\alpha$ , 减法， $1/\alpha$ , 乘法

对 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ ，

用 $-\alpha$ 来表示 $\alpha$ 的加法逆(additive inverse). 因而 $-\alpha$ 就是使得 $\alpha+(-\alpha)=0$ 的唯一复数.
$\mathbb{C}$ 上的减法被定义为 $\beta -\alpha =\beta +(-\alpha )$ .
对于 $\alpha \neq 0$ , 用 $1/\alpha$ 表示 $\alpha$ 的乘法逆(multiplicative inverse). 因而 $1/\alpha$ 就是使得 $\alpha (1/\alpha )=1$ 的唯一复数.
$\mathbb{C}$ 上的除法被定义为 $\beta /\alpha =\beta (1/\alpha )$ .

为了更加方便地给出对于实数和复数的定义和定理，我们在之后的博文中将用 $\mathbb{F}$ 表示 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ (选用字母 $\mathbb{F}$ 是因为 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 都是所谓域(field) 的例子，数域有详细的定义，只是这里我们并不讨论 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 之外的域)。我们将在 $\mathbb{F}$ 中讨论矩阵，用 $\mathbb{F}$ 中的元素 $a_{ij}$ 形成一个 $m$ 行 $n$ 列矩阵

$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

叫作 $\mathbb{F}$ 上的一个矩阵。

线性代数1：复数

复数

复数运算的性质

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