【算法设计与分析】09 递推方程与算法分析

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关于什么是递推方程，这里就不再多说了。本文主要讲讲简单的递推方程来求解算法的时间复杂度

1. 递推方程的引入

汉诺塔问题大家都知道，现在以汉诺塔问题来引入递推方程，可以参考文章离散数学中的数据结构与算法】十 汉诺塔

我们知道汉诺塔的递归算法对应的递推式子为：

T(n) = 2 T(n-1) + 1 ,T(1)=1 上述的式子，即为递推方程。

1.1 插入排序时间复杂度求解

设插入排序的基本运算是元素的比较，对规模为n的输入，最坏的情况下的时间复杂度为W（n），则可以列出递推方程式。

W(n) = W(n-1) + n-1 , W(1) = 0

很容易求出上述的W(n) = n(n-1) / 2

1.2 二分归并排序时间复杂度求解

设二分归并排序的最坏情况下时间复杂度W（n）

则由二分归并算法得出时间复杂度的式子：

W(n) = 2 * W(n/2) + n - 1,W(1) = 0

上述的式子并不是很好求解。可以用换元法求解（另n = 2^k）

然后再根据迭代求解得出 $W（n）=n log n - n + 1$

2 总结

学会使用递推方程来求解算法的时间复杂度，使用各种技巧进行求解。并学会使用数学归纳法对结果进行验证。