2019.12.08日常总结兼剪枝讲解

前言

无论在什么地方，总有一类题目，我们很难想到正解，为了得分，我们不得不使用暴力或者搜索的方法骗分，异或正解就是暴力或者搜索。我们都知道，原始的搜索效率极低，很多情况下无法通过题目。

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剪枝

我们也知道，搜索的过程相当于程序在遍历搜索树的过程，有些时候，我们可以提前知道搜索树上某些枝条上一定无解，此时，我们就没有必要浪费时间在这些枝条上进行搜索，相当于把它给剪去，这就是剪枝。

剪枝的三大原则：正确、准确、高效。其中，正确性是最最重要的，如果你把正解给剪掉了，一切白搭！

剪枝可以分为可行性剪枝和最优性剪枝。常见的方法有：控制上下界、排除无效解、记忆化、排除等效冗余等。

剪枝的副作用是让程序的时间复杂度变得无法计算。而剪枝的题目没有什么技巧，只有多想多刷。

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例题

洛谷P2383

【题目】： 现给出一些木棒长度，那么能否用给出的木棒（木棒全用完）组成一个正方形呢？
【思路】： 本题有以下几个剪枝：
$(1)$如果木棒长度总和 $sum$不是 $4$的倍数，一定是输出no
$(2)$把木棒分成四类，每一类放在一条边上，则如果某一类的木棒长度总和 $> \frac{sum}{4}$，一定无解。
当然了，如果加上快读（读优）肯定可以更快哦！
【代码】：

int a[25],sum,test_number,n;
bool dfs(int k,int s1,int s2,int s3,int s4){
	if (k>n){
		if (s1==s2&&s2==s3&&s3==s4)
			return true;
		else return false;
	}
	if (s1+a[k]<=sum/4){//剪枝2：限制搜索条件
		if (dfs(k+1,s1+a[k],s2,s3,s4))
			return true;
	}
	if (s2+a[k]<=sum/4){
		if (dfs(k+1,s1,s2+a[k],s3,s4))
			return true;
	}
	if (s3+a[k]<=sum/4){
		if (dfs(k+1,s1,s2,s3+a[k],s4))
			return true;
	}
	if (s4+a[k]<=sum/4){
		if (dfs(k+1,s1,s2,s3,s4+a[k]))
			return true;
	}
	return false;
}
#define gc getchar()
#define g(c) isdigit(c)
inline int read(){
	char c=0;int x=0;bool f=0;
	while (!g(c)) f=c=='-',c=gc;
	while (g(c)) x=x*10+c-48,c=gc;
	return f?-x:x;
}
int main(){
	test_number=read();
	while (test_number--){
		n=read();sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			a[i]=read();
			sum+=a[i];
		}
		if (sum%4)
			printf("no\n");
		else{
			if (dfs(1,0,0,0,0))
				printf("yes\n");
			else printf("no\n");
		}
	}
	return 0;
}

洛谷P1025

【题目】：
将整数 $n$分成 $k$份，且每份不能为空，任意两个方案不相同(不考虑顺序)。
例如： $n=7$， $k=3$，下面三种分法被认为是相同的。
$1,1,5$
$1,5,1$
$5,1,1$
问有多少种不同的分法。
【思路】： 因为解不考虑顺序，所以我们可以将划分出来的数从小到大排序搜索，即设 $A$为解，则一定保证 $A_{i-1} \leq A_i$。
因此有一个上下界剪枝，即设将 $n$分解成 $A_1+A_2+A_3+...+A_{i-1}$，则 $A_{i-1} \leq A_i \leq \frac{n-A_1-A_2-A_3-...-A_{i-1}}{k-i+1}$。
当然，这样虽然可以AC，但仍然可以优化，即加上记忆化。设 $f_{n,k,last}$表示把 $n$分为 $k$分，每份数都 $\geq last$的方案数。
【代码】：

int f[210][10][210],n,k;
int dfs(int n,int k,int last){
	if (n==0) return 1;
	if (k==0) return 0;
	if (f[n][k][last]!=-1)
		return f[n][k][last];
	f[n][k][last]=0;
	for(int i=last;i<=n/k;i++)
		f[n][k][last]+=dfs(n-i,k-1,i);
	return f[n][k][last];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	memset(f,-1,sizeof(f));
	printf("%d",dfs(n,k,1));
	return 0;
}