[BZOJ5339]-[TJOI2018]教科书般的亵渎-自然数幂和

说在前面

me讨厌数学题！
讨厌讨厌讨厌死了！

题目

解法

题目描述有点不清真
其实稍微想一想就能发现，这个题就是要我们求自然数幂和
假设我们已经会求自然数幂和了，这道题大概就这样做：枚举当前是第几次亵渎，记亵渎之前最高血量为 $q$ ，把 $q$ 拿出来求一次幂和，然后把那些不存在的怪的贡献用快速幂减掉。这样复杂度就是 $\Theta\big(m^2\log_2m+m*\delta\big)$ 。 $\delta$ 是指求幂和的复杂度

然后我们来考虑如何做幂和，我们要求的东西是 $\sum_{i=0}^n i^m$ ，我们记这个东西为 $S_n^m$
看见 $i^m$ ，不难想到使用斯特林数/二项式展开等技巧，这里我们使用二项式展开
那么得到（ $C$ 是组合数）

\begin{aligned} S_{n}^{m} & = \sum_{i = 0}^{n} i^{m} \\ = \sum_{i = 0}^{n} (\sum_{j = 0}^{m} C_{m}^{j} (i - 1)^{m - j}) \\ = \sum_{j = 0}^{m} C_{m}^{j} (\sum_{i = 0}^{n} (i - 1)^{m - j}) \\ = \sum_{j = 0}^{m} C_{m}^{j} S_{n - 1}^{m - j} \end{aligned}

$\begin{align*} S_n^m&=\sum_{i=0}^ni^m\\ &=\sum_{i=0}^n\left(\sum_{j=0}^mC_m^j(i-1)^{m-j}\right)\\ &=\sum_{j=0}^{m}C_m^j\left(\sum_{i=0}^n(i-1)^{m-j}\right)\\ &=\sum_{j=0}^m C_m^j S_{n-1}^{m-j} \end{align*}$

我们貌似得到一个有点像递推式的东西，我们把 $n$ 都加上 $1$ ，得到

\begin{aligned} S_{n + 1}^{m} & = \sum_{j = 0}^{m} C_{m}^{j} S_{n}^{m - j} \end{aligned}

$\begin{align*} S_{n+1}^m&=\sum_{j=0}^m C_m^j S_{n}^{m-j} \end{align*}$

但是我们发现它的下标变化了，这显然不是我们想要的
不难发现 $S_{n+1}^m=S_{n}^m+(n+1)^m$ ，把它和上面那个式子联立起来，于是递推式就只和 $m$ 有关了，我们继续推导，得到：

\begin{aligned} S_{n}^{m} + (n + 1)^{m} & = \sum_{j = 0}^{m} C_{m}^{j} S_{n}^{m - j} \\ S_{n}^{m} + (n + 1)^{m} & = \sum_{j = 1}^{m} C_{m}^{j} S_{n}^{m - j} + S_{n}^{m} \\ (n + 1)^{m} & = \sum_{j = 2}^{m} C_{m}^{j} S_{n - 1}^{m - j} + C_{m}^{1} S_{n}^{m - 1} \end{aligned}

$\begin{align*} S_n^m+(n+1)^m&=\sum_{j=0}^m C_m^j S_{n}^{m-j}\\ S_n^m+(n+1)^m&=\sum_{j=1}^m C_m^j S_{n}^{m-j}+S_n^m\\ (n+1)^m&=\sum_{j=2}^m C_m^j S_{n-1}^{m-j}+C_m^1S_{n}^{m-1} \end{align*}$

同时把m指标加1，得到

\begin{aligned} (n + 1)^{m + 1} & = \sum_{j = 2}^{m + 1} C_{m + 1}^{j} S_{n - 1}^{m + 1 - j} + C_{m + 1}^{1} S_{n}^{m} \\ S_{n}^{m} & = \frac{(n + 1)^{m + 1} - \sum_{j = 2}^{m + 1} C_{m + 1}^{j} S_{n - 1}^{m + 1 - j}}{m + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (n+1)^{m+1}&=\sum_{j=2}^{m+1} C_{m+1}^j S_{n-1}^{m+1-j}+C_{m+1}^1S_{n}^m\\ S_{n}^m&=\frac{(n+1)^{m+1}-\sum_{j=2}^{m+1} C_{m+1}^j S_{n-1}^{m+1-j}}{m+1} \end{align*}$

然后我们成功地得到了一个递推式！这个递推式是 $n^2$ 的，可以通过此题
注意，我们在推导过程中使用了二项式展开，因此需要定义 $0^0=1$ ，这是由于 $(0-1+1)^0=\sum_{i=0}^0C_0^i(-1)^0=1$
并且在我们第一步推导的如下步骤中，当 $m=j,i=0$ 时，贡献也会变为 $(-1)^0=1$ ，因此必须如上定义才能保证正确

\begin{aligned} \sum_{j = 0}^{m} C_{m}^{j} (\sum_{i = 0}^{n} (i - 1)^{m - j}) = \sum_{j = 0}^{m} C_{m}^{j} S_{n - 1}^{m - j} \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{j=0}^{m}C_m^j\left(\sum_{i=0}^n(i-1)^{m-j}\right)=\sum_{j=0}^m C_m^j S_{n-1}^{m-j} \end{align*}$

下面是代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;

long long N , a[55] ;
int T , M , P = 1e9 + 7 , C[55][55] ;

long long s_pow( long long x , int b ){
    long long rt = 1 ;
    while( b ){
        if( b&1 ) rt = rt * x %P ;
        x = x * x %P , b >>= 1 ;
    } return rt ;
}

long long S[55] ;
long long cal( long long n , int m ){
    S[0] = n + 1 ; // 1 to n
    S[1] = ( 1 + n ) * n %P * s_pow( 2 , P - 2 )%P ;
    for( int i = 2 ; i <= m ; i ++ ){
        long long tmp = s_pow( n + 1 , i + 1 ) ;
        for( int j = 2 ; j <= i + 1 ; j ++ )
            tmp -= S[i-j+1] * C[i+1][j] %P ;
        tmp = tmp %P * s_pow( i + 1 , P - 2 ) %P ;
        S[i] = ( tmp + P )%P ;
    } return S[m] ;
}

void solve(){
    long long ans = 0 ;
    for( int i = 1 ; i <= M + 1 ; i ++ ){
        ans += cal( ( N - a[i-1] )%P , M + 1 ) ;
        for( int j = i ; j <= M ; j ++ )
            ans -= s_pow( a[j] - a[i-1] , M + 1 ) ;
    } printf( "%lld\n" , ( ans %P + P )%P ) ;
}

int main(){
    for( int i = 0 ; i <= 52 ; i ++ ){
        C[i][0] = 1 ;
        for( int j = 1 ; j <= i ; j ++ )
            C[i][j] = ( C[i-1][j] + C[i-1][j-1] )%P ;
    } scanf( "%d" , &T ) ;
    while( T -- ){
        scanf( "%lld%d" , &N , &M ) ;
        for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ )
            scanf( "%lld" , &a[i] ) ;
        sort( a + 1 , a + M + 1 ) ;
        solve() ;
    }
}