伯努利数与自然数幂和

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自然数幂和的伯努利数做法是对于指数型母函数的精彩应用。
普通的母函数是因为对于等比数列的研究可以迁移到幂级数上，从而拓展生成函数的运算而简化运算，一般化数列的运算。
指数型母函数是将泰勒展开的研究迁移到幂/阶乘级数（？？？）而规定生成函数的运算，从而达到描述数列运算的目的。

这个证明很简洁。
然后 答案就是 B(z) 与 e^nz - 1的卷积的第k+1项。
记住B(z) = sigma(Bi * x ^ i / i!)
e^nz -1 = sigma(n^i * x ^ i / i!)
可以推出
Sk / k+1! = sigma( Bi / i! * n^k+1-i / (k+1-i)! )
即Sk = sigma( C(k+1,i) * Bi * n^k+1-i , 0<=i<k+1)
这就是网上的神奇公式。
这里要注意一下，伯努利数不一定是整数，所以这个式子不可以拿来证明1~n的自然数幂和被n整除。
这个式子的好处在于，你只需要计算一次伯努利数，之后都可以用，但是对于模数的要求。。。。
请用第二类斯特林数。