伯努利数应用

上一次讲了一下什么是自然数幂和以及求法，但是个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$ 的，所以有的时候

不能解决一些题目，那么我就借助一下例题说一下伯努利数。

51NOD 1228 序列求和

T(n) = n^k，S(n) = T(1) + T(2) + …… T(n)。给出n和k，求S(n)。

例如k = 2，n = 5，S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。

由于结果很大，输出S(n) Mod 1000000007的结果即可。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 5000)

第2 - T + 1行：每行2个数，N, K中间用空格分割。(1 <= N <= 10^18, 1 <= K <= 2000)

Output

共T行，对应S(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

3
5 3
4 2
4 1

Output示例

225
30
10

解题思路分析：

这个题目因为 $T$ 非常大，所以不能直接用上一个递归的公式了，那么就引入了一个新的名词——伯努利数。

伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数。设伯努利数为 $B_n$ ，它的定义为： $\frac{t}{e^t-1} = \sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}*t^n$ 这里 $|t|<2$ 。由计算知： $B_0=1, B_1=-\frac12$ —— 摘自百度百科。

一般地，当 $n\ge2$ 时，我们可以通过 $\sum_{i=0}^nC(n+1,i)*B_k=0$ 通过这个公式我们就得到了 $B_n$ 的公式：

$B_n = -\frac1{C(n+1,n)}*(C(n+1,0)*B_0+C(n+1,1)*B_1+...+C(n+1,n-1)*B_{n-1})$

$=-\frac1{n+1}*(C(n+1,0)*B_0+C(n+1,1)*B_1+...+C(n+1,n-1)*B_{n-1})$

那么我现在给出求 $1^k+2^k+...+n^k$ 的关于伯努利的公式：

\sum i = 1 k i k = 1 k + 1 * C (k + 1, i) * B k + 1 - i * (n + 1) i - - - (1)

$\sum_{i=1}^ki^k =\frac1{k+1}*C(k+1,i)*B_{k+1-i}*(n+1)^i---(1)$

这个公式的复杂度是 $O(k)$ ，可以解决一些问题了。

其实这个公式中的大多数都是可以通过初始化来得到的，比如说组合数 $(n+1)^i$ 和 $\frac1{k+1}$ 逆元，

都可以初始化一个数组来得到，然后就是比较复杂的 ”伯努利数“ 了，那么刚才介绍伯努利数

的时候已经把公式给出了：

B n = - 1 n + 1 * (C (n + 1, 0) * B 0 + C (n + 1, 1) * B 1 + . . . + C (n + 1, n - 1) * B n - 1)

$B_n=-\frac1{n+1}*(C(n+1,0)*B_0+C(n+1,1)*B_1+...+C(n+1,n-1)*B_{n-1})$

这个公式很多东西也是可以初始化得到的， $n+1$ 的逆元，组合数取模，等等。。

那么现在就可以写了，需要注意的是在 $(1)$ 式中 $(n+1)^i$ 需要先对 $n$ 进行取模，否则会爆

$long$ $long$ 的：

$51 NOD 题目的 AC代码$ ：——可以作为模板

/**
2016 - 08 - 07 下午
Author: ITAK

Motto:

今日的我要超越昨日的我，明日的我要胜过今日的我，
以创作出更好的代码为目标，不断地超越自己。
**/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const LL INF = 1e9+5;
const int MAXN = 2e3+5;
const LL MOD = 1e9+7;
const double eps = 1e-7;
const double PI = acos(-1);
using namespace std;

LL c[MAXN][MAXN], Inv[MAXN], B[MAXN];
void Exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return ;
    }
    LL x1, y1;
    Exgcd(b, a%b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a/b)*y1;
}
void Get_Fac()
{
    for(int i=0; i<MAXN; i++)
    {
        c[i][0] = 1;
        c[i][i] = 1;
    }
    for(int i=1; i<MAXN; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            c[i][j] = (c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%MOD;
}

void Get_Inv()
{
    for(int i=1; i<MAXN; i++)
    {
        LL x, y;
        Exgcd(i, MOD, x, y);
        x = (x%MOD+MOD)%MOD;
        Inv[i] = x;
    }
}
LL quick_MOD(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            ans = (ans*a)%MOD;
        b>>=1;
        a = (a*a)%MOD;
    }
    return ans;
}
void Get_Bonuli()
{
    B[0] = 1;
    for(int i=1; i<MAXN-1; i++)
    {
        LL tmp = 0;
        for(int j=0; j<i; j++)
            tmp = (tmp+c[i+1][j]*B[j])%MOD;
        B[i] = tmp;
        B[i] = B[i]*(-Inv[i+1]);
        B[i] = (B[i]%MOD+MOD)%MOD;
    }
}
void Init()
{
    Get_Fac();
    Get_Inv();
    Get_Bonuli();
}
int main()
{
    Init();
    int T, k;
    LL n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%d",&n,&k);
        n++;
        n %= MOD;
        LL ans = 0;
        for(int i=1; i<=k+1; i++)
        {
            ans = (ans+((c[k+1][i]*B[k+1-i])%MOD)*quick_MOD(n,(LL)i))%MOD;
            ans = (ans%MOD+MOD)%MOD;
        }
        ans = ans*Inv[k+1];
        ans = (ans%MOD+MOD)%MOD;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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