[BZOJ1127]-[POI2008]KUP-思维+极大子矩形

说在前面

这 zi 题 ji 真 zhen 厉 cai 害 ji

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题目

给出一个 $n*n$ 的矩阵 $a$ 以及一个常数 $K$，询问是否有一个子矩形满足：$K\leq 子矩形权值和 \leq 2*K$，如果有，输出这个子矩形的左上角以及右下角坐标，先列后行
范围：$n\leq 2000$，$a_{i,j}\leq 2*10^9$，$K\leq 10^9$

输入输出格式

输入格式：
第一行两个整数 $K,n$
接下来是一个 $n$ 行 $n$ 列的数字矩阵

输出格式：
如题目中所述，若不存在则输出 NIE

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解法

考虑这个问题的一维版本：
首先如果有一个单独的格子满足条件，直接特判就好
然后就是询问是否有一个子串满足条件。显然这个子串不能包含任意一个大于 $2K$ 的数字，我们把这样的数字称为「坏点」。假如我们找到了一个不包含坏点的极长子串，如果这个子串的和满足条件就直接输出；不然，因为其中所有数字都小于 $K$，我们只需要在两端任意去掉一些数字，一定能获得一个合法的区间

同理推广到二维即可
真厉害

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下面是代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;

int N , K , K2 , up[2005] ;
bool ban[2005][2005] ;
long long sa[2005][2005] ;

inline bool legal( int x ){ return x >= K && x <= K2 ; }
inline long long sum( int lf , int rg , int up , int dn ){
    return sa[dn][rg] - sa[dn][lf-1] - sa[up-1][rg] + sa[up-1][lf-1] ;
}

void cal( int lf , int rg , int up , int dn ){
    if( sum( lf , rg , up , dn ) < K ) return ;
    while( true ){
        if( legal( sum( lf , rg , up , dn ) ) )
            printf( "%d %d %d %d" , lf , up , rg , dn ) , exit( 0 ) ;
        if( up != dn ){
            if( sum( lf , rg , up , up ) <= K ) up ++ ;
            else dn -- ;
        } else if( lf != rg ) {
            if( sum( lf , lf , up , dn ) <= K ) lf ++ ;
            else rg -- ;
        } else return ;
    }
}

int s[2005] , top ;
void solve(){
    for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ){
        for( int j = 1 ; j <= N ; j ++ )
            up[j] = ( ban[i][j] ? 0 : up[j] + 1 ) ;
        for( int j = 1 ; j <= N + 1 ; j ++ ){ // N + 1 ---> push_empty
            while( top && up[ s[top] ] >= up[j] ){
                cal( s[top-1] + 1 , j - 1 , i - up[ s[top] ] + 1 , i ) ;
                top -- ;
            } s[++top] = j ;
        } top = 0 ;
    } puts( "NIE" ) ;
}

int main(){
    scanf( "%d%d" , &K , &N ) ; K2 = K << 1 ;
    for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
    for( int j = 1 ; j <= N ; j ++ ){
        scanf( "%lld" , &sa[i][j] ) ;
        if( legal( sa[i][j] ) )
            printf( "%d %d %d %d" , j , i , j , i ) , exit( 0 ) ;
        if( sa[i][j] > K2 ) ban[i][j] = true ;
        sa[i][j] += sa[i-1][j] + sa[i][j-1] - sa[i-1][j-1] ;
    } solve() ;
}