我们讨论在仿射平面上的椭圆函数。
需要注意的点是：定义curve的多项式不仅需要在该域上是无重根的，还需要在任何代数闭包上是无重根的，在特征是p的非perfect的域上有反例。
给定curve上的一个点，一个重要的技巧是，我们可以把原来的多项式改写为：
那如果取的点是singular的呢？
射影仿射面：
熟知的关系：
我们利用这个覆盖定义射影曲线的重数，切线......
Rational Points on Plane Curves
我们把R视作是P=\inf的情况，于是我们把一个Q上的多项式在Q里的根的问题转化到局部域上去：
我们可以把定理加强到任意的变量和任意域上去（by Hasse-Minkowski theorem)
二次curves上的有理点实际上非常好被确定：
genus>1的curves：
首先是定义射影平面曲线的几何亏格：
