数据结构最小生成树之Prim算法

求无向网的最小生成树的算法有两种：Prim和Kruskal，它们都是利用最小生成树的MST性质得到的。

Prim算法思想：
逐渐长成一棵最小生成树。假设G=（V，E）是连通无向网，T=（V，TE）是求得的G的最小生成树中边的集合，U是求得的G的最小生成树所含的顶点集。初态时，任取一个顶点u加入U，使得U=｛u｝，TE=Ø。重复下述操作：找出U和V-U之间的一条最小权的边（u，v），将v并入U，即U=U∪｛v｝，边（u，v）并入集合TE，即TE=TE∪｛（u，v）｝。直到V=U为止。最后得到的T=（V，TE）就是G的一棵最小生成树。也就是说，用Prim求最小生成树是从一个顶点开始，每次加入一条最小权的边和对应的顶点，逐渐扩张生成的。
我们举一个例子?来模仿一下Prim的操作流程：
（1）初始化U=｛v0｝，TE=Ø
在这里插入图片描述
（2）U=｛v0，v2｝，TE=｛（v0，v2）｝

（3）U=｛v0，v2，v5｝，TE=｛（v0，v2），（v2，v5）｝

（4）U=｛v0，v2，v5，v3｝，TE=｛（v0，v2），（v2，v5），（v5，v3）｝

（5）U=｛v0，v2，v5，v3，v1｝，TE=｛（v0，v2），（v2，v5），（v5，v3），（v2，v1）｝
在这里插入图片描述
（6）U=｛v0，v2，v5，v3，v1，v4｝，TE=｛（v0，v2），（v2，v5），（v5，v3），（v2，v1），（v2，v4）｝

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string> 
using namespace std;
const int MaxSize=100;
const int MAX=9999;

class MGraph
{
string vertex[MaxSize]; //图的顶点信息
int adj[MaxSize][MaxSize]; //图的邻接矩阵
int vertexNum,edgeNum;
public:
MGraph(int n);
int W(int i,int j);
void InsertEdge(int i,int j,int p);
int VexNum()
{
return vertexNum;
}
friend void Prim(MGraph &g,int u0);
};

MGraph::MGraph(int n)
{
vertexNum=n;
edgeNum=0;
memset(adj,0,sizeof(adj)); //将邻接矩阵所有元素赋为0
}

void MGraph::InsertEdge(int i,int j,int p) //插入顶点i、j依附的边以及该边的权值
{
adj[i][j]=adj[j][i]=p;
edgeNum++;
}

int MGraph::W(int i,int j)
{
return adj[i][j];
}

void Prim(MGraph &g,int u0)
{
int k;
int n=g.VexNum();
struct node
{
int adjvex;
int lowcost;
}closedge[MaxSize];
closedge[u0].adjvex=u0;
closedge[u0].lowcost=0;
for(int v=0;v<n;v++)
{
if(v!=u0)
{
closedge[v].adjvex=u0;
closedge[v].lowcost=g.W(u0,v);
}
}
closedge[u0].lowcost=0;
for(int i=0;i<=n-2;i++)
{
k=0;
int minw=MAX;
for(int v=0;v<=n-1;v++)
{
if(closedge[v].lowcost>0&&closedge[v].lowcost<minw)
{
k=v;
minw=closedge[v].lowcost;
}
}
cout<<"("<<closedge[k].adjvex<<","<<k<<")"<<":"<<minw<<" "<<endl;
closedge[k].lowcost=0; //顶点k并入U集
for(int v=0;v<=n-1;v++)
{
if(closedge[v].lowcost!=0&&g.W(k,v)<closedge[v].lowcost)
{
closedge[v].lowcost=g.W(k,v);
closedge[v].adjvex=k;
}
}
}
}

int main()
{
struct Edge
{
int from,end,power;
};

int n=6;   //6个顶点 
int e=10;
Edge b[]={{0,1,6},{0,2,1},{0,3,5},{1,2,5},{1,4,3},{2,3,5},{2,4,6},{2,5,4},{3,5,2},{4,5,6}};
MGraph m(n);
for(int k=0;k&lt;e;k++)m.InsertEdge(b[k].from,b[k].end,b[k].power);  //插入所有边,将邻接矩阵赋值 
Prim(m,0);
return 0;

}

                                </div>

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