第十一届蓝桥杯校内赛/校内选拔赛（2020年）I题序列

序列

问题描述

小明想知道，满足以下条件的正整数序列的数量：
　　1. 第一项为 n；
　　2. 第二项不超过 n；
　　3. 从第三项开始，每一项小于前两项的差的绝对值。
　　请计算，对于给定的 n，有多少种满足条件的序列。

输入格式

输入一行包含一个整数 n。

输出格式

输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。

样例输入

4

样例输出

7

样例说明
　　以下是满足条件的序列：
　　4 1
　　4 1 1
　　4 1 2
　　4 2
　　4 2 1
　　4 3
　　4 4
评测用例规模与约定
　　对于 20% 的评测用例，1 <= n <= 5；
　　对于 50% 的评测用例，1 <= n <= 10；
　　对于 80% 的评测用例，1 <= n <= 100；
　　对于所有评测用例，1 <= n <= 1000。

由题目能够得知，第三位可能的数之于前两位有关。
初始第一位为n。第二位的范围为 1~n 。
如果用T(n,m）表示以n为第一位，m为第二位的可能序列的话，那么对于n的解为 T(n,1)+T(n,2)+...+T(n,n)。
而对于T(n,m)他的解可得为T(n,m)=1+T(m,1)+T(m,2)+...+T(m,|n-m|-1)。
例如以 6 3为开头的序列，T(6,3)=1+T(3,1)+T(3,2)。
所以根据以上结论就能够得出解。
以下是Java代码仅供参考

import java.util.Scanner;

public class Main {
	static Scanner sc = new Scanner(System.in);

	public static void main(String[] args) {
		int n = sc.nextInt();
		int ans[][] = new int[n + 1][n + 1];
		int jg = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			jg += jie(ans, n, i);
		}
		System.out.println(jg%10000);
	}

	private static int jie(int[][] ans, int n, int m) {
		if (ans[n][m] != 0) {
			return ans[n][m];
		}
		int te = 1;
		for (int i = 1; i < Math.abs(n - m); i++) {
			te = (te + jie(ans, m, i)) % 10000;
		}
		return ans[n][m] = te;
	}
}

测试得出1000的结果所用的时间约为1300ms，正常情况下Java代码会有两秒的时间，该程序并不会超时。