考研高数——积分中值定理证明

积分中值定理¹：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\exists \xi \in [a, b]$，使得：
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(\xi)(b-a)$

【证明】

• 解法一：

原式 $\Rightarrow$
$f(\xi) = \frac{\int_a^bf(x) \mathrm{d}x}{b-a}$

$f(x) 在 [a, b]$ 上连续，根据最值定理²，

$m \leqslant f(x) \leqslant M$

其中， $m$， $M$，分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值，则有

$\int_a^bm \mathrm{d}x \leqslant \int_a^bf(x) \mathrm{d}x \leqslant \int_a^bM \mathrm{d}x$

根据积分就是面积的几何意义，有

$m(b-a) \leqslant \int_a^bf(x) \mathrm{d}x \leqslant M(b-a)$

$\Rightarrow m \leqslant \frac{\int_a^bf(x) \mathrm{d}x}{b-a} \leqslant M$

根据介值定理²， $\exists \xi \in [a, b]$，使得

$f(\xi) = \frac{\int_a^bf(x) \mathrm{d}x}{b-a}$

证毕。

• 解法二：

由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，根据原函数存在定理，存在

$F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t$

由牛顿-莱布尼茨公式及拉格朗日中值定理，有

$\int_a^bf(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a) = F'(\xi)(b - a) = f(x)(b - a)$

其中， $\xi \in (a, b)$

证毕。

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1. 《绿皮船》P57 ↩︎

2. 非要再把这两个定理证明出来吗…… ↩︎ ↩︎