考研复试——高数

高等数学

1. 数列极限的ε-N定义：

2. 函数极限定义：

3. 极限的性质：

• 四则运算
• 保号性
• 唯一性
• 有界性

4. 极限存在的判定定理：

分别考虑左右极限，极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等。

5. 函数连续的定义？一致性连续是什么？

• 首先，描述点连续的定义：函数在该点的极限值 == 该点函数值

• 其次叙述区间上连续的定义，对于开区间连续定义：每一点都连续。闭区间：加上右连续

和左连续。

• 一致连续：就是说只要在一个区间内，两个点足够接近，那么它们的函数值就会无限接

近。

6. 间断点的分类：

• 第一类间断点：
  • 可去间断点
  • 跳跃间断点
• 第二类间断点：
  • 无穷间断点
  • 震荡间断点

7. 什么是无穷小量，什么是无穷大量？

• 在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的变量称为无穷大量，或叫做无穷大；

  • 如果从某个时刻开始，该变量恒取正值，且绝对值无限增大，则称之为正无穷大；
  • 如果从某个时刻开始，该变量恒取负值，且绝对值无限增大，则称之为负无穷大；
  • 正无穷大，负无穷大都是无穷大量。

• 在自变量的某个变化过程中，绝对值无限减小的变量称为无穷小量或叫做无穷小。数0也是无穷小，虽然它的绝对值不再变化，但绝对值已经达到最小，数0是一个非常特殊的无穷小。

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8. 微商（某一点可导）的定义？

微商是指一个函数在某个点处的导数。

微商公式： f’(x_0) = lim[h -> 0] [(f(x_0 + h) - f(x_0)) / h]

其中， “->” 表示趋近于，“[]” 表示取整，“/” 表示除以，“lim” 表示极限。

9. 微分是什么 ？和微商的区别（可微与可导的区别？）与连续的联系？

10. 函数的拐点是什么？极值点是什么？

• 拐点：二阶导变号。函数的拐点指的是函数图像上出现“拐弯”的点，即函数从凹向上转变成凸向上或者从凸向上转变成凹向上的点。
• 极值点：一阶导变号。函数的极值点指的是函数图像上取得最大值或最小值的点。

11. 不定积分是什么？和微分运算什么关系？

• 不定积分是一种与微积分相关的数学运算，用于求解函数的原函数（也称为反导函数）。与微分运算的关系在于，微分运算是对函数进行求导，而不定积分则是对函数进行逆运算，即反求函数的原函数。

• 更具体地说，不定积分是指对于给定的一个函数，求出该函数的原函数（即导数为该函数的函数），并在求解过程中加入一个任意常数C。这个常数C被称为积分常数，因为对于一个确定的函数而言，其原函数并不唯一，而是存在无数个可能的原函数，它们之间只差一个常数。

• 因此，不定积分和微分运算是互为逆运算的，即通过对一个函数进行不定积分得到的结果再求导，就可以得到原函数。这一过程被称为微积分基本定理，它是微积分中最基本的理论之一。

12. 泰勒展开是什么？

用关于 x 的 n 次多项式来逼近函数（用幂级数逼近）

13. 级数是什么？为什么要学习级数？

• 无穷级数，也称数项级数，级数是其简称，是由数列的无穷个项相加而成。

• 为什么？：在学级数之前我们学习的都是初等函数的性质，研究初等函数的微分，积分运算。但生活中还有许多非初等函数，比如分段函数，需要新的工具来表示这些函数并研究它们的性质，故引入级数。

14. 级数发散和收敛是什么？（充要条件）

• 级数是一个无限序列的和，收敛意味着总和有限，发散则意味着总和无限。

以下是一些判定级数收敛和发散的充分条件：

1. 正项级数收敛定理：如果级数的所有项都是非负数，且项趋近于零，则该级数收敛。
2. 比较判别法：如果级数的每一项都比另一个已知的收敛正项级数的对应项小，则该级数收敛；如果级数的每一项都比另一个已知的发散正项级数的对应项大，则该级数发散。
3. 比值判别法：如果级数的相邻两项的比值的极限小于 1，则该级数收敛；如果比值的极限大于 1，则该级数发散；如果等于 1，则该方法无法确定级数的收敛性。

15. 绝对收敛、条件收敛、一致收敛是什么

这些术语通常用于描述数列或函数序列的收敛性质。

1. 绝对收敛： 如果一个数列或函数序列的所有项都是非负的，并且它的对应绝对值数列或函数序列收敛，那么该序列就是绝对收敛的。
2. 条件收敛：如果一个数列或函数序列收敛但对应绝对值数列或函数序列不收敛，那么该序列就是条件收敛的。
3. 一致收敛： 如果一个函数序列在其定义域上的收敛速度对于序列中的每个函数都是相同的，那么该函数序列就是一致收敛的。

值得注意的是，绝对收敛和条件收敛只能用于描述数列或函数序列本身的收敛性质，而一致收敛则描述了函数序列的收敛速度。

16. 什么是傅里叶变换？傅里叶级数？

• 傅里叶变换（Fourier Transform）和傅里叶级数（Fourier Series）是数学中常用的工具，用于分析和处理周期性信号或非周期性信号。

• 傅里叶级数是一种将周期性信号分解为一系列正弦函数或余弦函数的方法。它是由法国数学家傅里叶于19世纪初提出的，用于分析周期性现象，如声音和电磁波等。傅里叶级数假设一个周期函数可以表示为一组正弦和余弦函数的线性组合，这些函数的频率是原始信号的基础频率的整数倍。通过计算每个频率的振幅和相位，可以得到原始周期信号的完整表示。

• 傅里叶变换则是将非周期性信号分解为一组连续的正弦和余弦函数的方法。它是将傅里叶级数推广到非周期函数的情况。傅里叶变换将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，其中每个频率的振幅和相位都被表示为复数。通过傅里叶变换，可以将信号在时域中的信息转换为频域中的信息，因此可以更好地理解信号的频率特性和谱密度。傅里叶变换在数字信号处理、图像处理、通信工程、量子力学等领域都有广泛的应用。

17. 偏导数是什么？

偏导数是多元函数中对一个自变量求导数时，将其它自变量视为常数后所得到的导数。偏导数可以理解为沿着某一方向的斜率，它表示函数在某一自变量的变化对函数值的影响。在数学中，偏导数通常用符号 ∂ 来表示，因此偏导数也称为 ∂ 导数。

偏导数常常出现在数学、物理、工程等学科的相关领域中，例如在物理学中，偏导数被用来描述多个变量之间的关系，如速度和时间，压力和体积等。在工程学中，偏导数被用来计算某一变量对整个系统的影响，例如温度对机器的影响，电压对电路的影响等。

18. 全微分是什么？

全微分是指在多元函数中，对于每一个自变量进行微分后所得到的微分式的和。全微分是一个标量函数，它表示了函数在所有自变量的微小变化下的总变化量，因此它是一个全局性质。

在数学中，如果一个函数 f(x,y) 在某一点 (x0,y0) 处的全微分存在，那么这个函数在该点处是可微的。全微分可以表示为 df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy，其中 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 分别表示函数 f(x,y) 对自变量 x 和 y 的偏导数。

全微分在数学和物理学中都有广泛的应用，例如在物理学中，全微分被用来描述热力学系统中的能量变化。在数学中，全微分被用来研究多元函数的可微性、偏导数和积分等方面的性质。

19. 偏导、可微、连续的关系是什么？

在多元函数中，偏导、可微和连续的关系如下：

1. 如果一个多元函数在某一点处的所有偏导数都存在且连续，那么该函数在该点处是可微的。
2. 如果一个多元函数在某一点处可微，那么它在该点处是连续的。
3. 如果一个多元函数在某一点处的某个偏导数不存在或者不连续，那么该函数在该点处不可微，但该函数仍可能在该点处连续。

综上所述，偏导、可微和连续是密切相关的概念，它们之间的关系可以帮助我们更好地理解多元函数的性质和行为。在实际问题中，我们通常需要根据偏导数的存在性、可微性和连续性来分析多元函数的特点，并根据分析结果来进行相应的求解和应用。

20. 什么是方向导数？

方向导数是指多元函数在某一点沿着给定方向的导数，它表示了函数在该点沿着指定方向的变化率。方向导数通常用符号 Dv(f) 或者 ∂f/∂v 表示，其中 v 是给定方向的单位向量。

在数学中，如果一个多元函数 f(x,y) 在某一点 P(x0,y0) 处偏导数存在，那么函数在该点沿着给定方向 v 的方向导数可以表示为：

Dv(f) = ∂f/∂x * cosθ + ∂f/∂y * sinθ

其中，θ 是向量 v 与 x 轴正方向的夹角。也可以写成向量形式：

Dv(f) = ∇f · v

其中 ∇f 是 f 的梯度，v 是方向向量。这个公式表明，方向导数可以看作梯度在给定方向上的投影。

方向导数在物理、工程、计算机等领域中有广泛的应用，例如在物理中，方向导数被用来描述力在某一方向上的大小和方向。在工程中，方向导数被用来计算某一变量在某一方向上的敏感性，例如温度在某一方向上的变化对机器的影响。在计算机中，方向导数被用来进行图像处理和计算机视觉等方面的应用。

21. 最小二乘法是什么？

最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于拟合数据点与给定函数之间的关系。在该方法中，我们寻找一条曲线或者平面，使得这条曲线或者平面与给定数据点之间的距离最小。

具体来说，假设我们有一组二维数据点 (xi, yi)，我们希望找到一个一元函数 y=f(x) 来描述这些数据点的关系。我们可以使用最小二乘法来确定函数 y=f(x) 中的参数，使得这个函数可以最好地拟合这些数据点。

在最小二乘法中，我们定义误差函数为每个数据点到拟合函数的距离的平方和。我们的目标是最小化这个误差函数，这可以通过对误差函数求导数并令其为零来实现。解出参数后，我们就可以得到一条最佳拟合曲线或平面，这条曲线或平面最能够反映数据点之间的关系。

最小二乘法在实际问题中有广泛的应用，例如在统计学、物理学、工程学、金融学等领域中都有应用。最小二乘法可以用来估计线性回归模型中的参数、解决方程组、进行信号处理和数据压缩等方面的应用。

22. 拉格朗日乘法用来解决什么问题？

拉格朗日乘法（Lagrange multiplier）是一种求解约束条件下优化问题的方法，它通过将约束条件与目标函数结合起来，将原问题转化为一个无约束的问题来求解。在数学上，拉格朗日乘法可以用来求解约束最优化问题的局部最小值和全局最小值。

具体来说，假设我们要优化一个目标函数 f(x1,x2,…,xn)，同时受到 m 个约束条件 h1(x1,x2,…,xn)=c1, h2(x1,x2,…,xn)=c2, …, hm(x1,x2,…,xn)=cm 的限制。这时，我们可以通过引入拉格朗日乘数 λ1, λ2, …, λm，将原问题转化为如下的无约束优化问题：

L(x1,x2,…,xn,λ1,λ2,…,λm) = f(x1,x2,…,xn) + λ1[h1(x1,x2,…,xn) - c1] + λ2[h2(x1,x2,…,xn) - c2] + … + λm[hm(x1,x2,…,xn) - cm]

然后，我们可以通过求解拉格朗日函数的梯度向量等于零的条件，得到目标函数的局部最优解和全局最优解。其中，拉格朗日乘数 λ1, λ2, …, λm 对应着约束条件 h1(x1,x2,…,xn)=c1, h2(x1,x2,…,xn)=c2, …, hm(x1,x2,…,xn)=cm 的 Lagrange 乘子。

拉格朗日乘法在优化问题、经济学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。例如，拉格朗日乘法可以用来求解带有约束条件的最优化问题，如线性规划、非线性规划和最小二乘问题。它还可以用来求解一些经济学和物理学问题，如边际分析、能量最小原理等。

23. 重积分是什么？

重积分是对多元函数在一定区域上进行积分的方法，也叫做二重积分或三重积分，具体取决于被积函数的自变量个数。

在二元函数情形下，重积分可以表示为：

∬f(x,y)dxdy

其中，f(x,y)是一个定义在二维区域上的实值函数，其自变量为 x 和 y，dxdy表示对 x 和 y 所构成的区域进行积分。

在三元函数情形下，重积分可以表示为：

∭f(x,y,z)dxdydz

其中，f(x,y,z)是一个定义在三维区域上的实值函数，其自变量为 x、y 和 z，dxdydz 表示对 x、y 和 z 所构成的区域进行积分。

对于具体的计算，可以根据被积函数在区域内的性质，采用不同的计算方法，如直接计算、极坐标系下的计算、柱坐标系下的计算、球坐标系下的计算等等。

重积分在数学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。例如，在物理学中，我们可以使用重积分来计算质量、电荷、能量等物理量，以及物理场在空间中的分布情况。在工程学中，重积分可以用来计算材料的体积、重心、惯性矩等参数。在数学中，重积分则是计算曲面面积、体积等几何量的重要工具。

24. 曲面面积是什么？

曲面面积是指一个曲面所覆盖的表面积大小，通常用于描述三维空间中的曲面形态和性质。曲面面积可以通过对曲面进行参数化，并对参数化后的曲面进行积分计算得到。

具体地，假设我们有一个曲面 S，其参数方程为：

x = g(u, v) y = h(u, v) z = f(u, v)

其中，u 和 v 是参数，可以用来表示曲面上的点的位置。根据微积分的知识，我们可以将曲面 S 分解为若干个微小的曲面元素，每个曲面元素的面积可以近似表示为：

dS = ||∂g/∂u × ∂g/∂v|| du dv

其中，||∂g/∂u × ∂g/∂v|| 表示 g(u,v) 的偏导数向量的模长，du 和 dv 表示参数的微小变化量。

对所有曲面元素的面积进行累加，即可得到曲面 S 的面积：

S = ∬dS = ∬||∂g/∂u × ∂g/∂v|| du dv

其中，∬ 表示对参数域内的区域进行积分。

曲面面积在数学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。例如，在物理学中，曲面面积可以用来计算电场的通量、表面密度等物理量；在工程学中，曲面面积可以用来计算机械零件的表面积、热交换器的传热面积等参数。

25. 第一型曲线积分

第一型曲线积分是沿着曲线对标量场进行积分的一种积分形式。直观理解是用来求曲线的质量的，即空间中存在一条曲线 L: G(t) = 0，曲线上每一点有一个密度值 f(x,y,z)，然后求该曲线的质量。d w = ds * f(x,y,z)

它也叫做曲线积分或线积分，通常用于计算在曲线上某个点的标量函数值沿曲线的积分。

对于一个位于二维平面或三维空间中的曲线 C，其参数方程为：

r = r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩

其中，r(t) 是曲线 C 上的一个点，t 是曲线上的参数，可以是弧长或其他参数。对于一个定义在曲线 C 上的实值函数 f(x,y) 或 f(x,y,z)，其在曲线 C 上的第一型曲线积分表示为：

∫Cf ds 或 ∫Cf(x,y,z) ds

其中，ds 表示曲线 C 上的线元素，即

ds = ||dr/dt|| dt

其中，||dr/dt|| 表示 r(t) 的导数的模长，dt 表示参数的微小变化量。通常情况下，我们可以将 ds 表示为关于 t 的函数形式，然后对参数 t 进行积分计算即可。

第一型曲线积分在物理学、工程学、数学等领域中有广泛的应用。例如，在物理学中，我们可以使用第一型曲线积分来计算质点沿着曲线的运动、电荷沿着电场线的移动、液体沿着管道的流动等问题；在工程学中，第一型曲线积分可以用来计算沿着管道的压力损失、电线沿着电磁场线圈的感应电动势等问题。

26. 第一型曲面积分是什么？

第一型曲面积分是对一个位于三维空间中的曲面上的向量场进行积分的一种积分形式，也叫做曲面积分或面积分。它可以看做是二重积分的推广，将积分从二维曲线推广到三维曲面上。类似第一型曲线积分，只是变成了求一个曲面的质量，即空间中存在一个曲面 z = z(x,y)，然后同时对空间每个点有一个密度值 f(x,y,z)，然后求该曲面的质量。

对于一个位于三维空间中的曲面 S，其参数方程为：

r = r(u,v) = ⟨x(u,v), y(u,v), z(u,v)⟩

其中，r(u,v) 是曲面 S 上的一个点，u 和 v 是曲面上的参数，可以是面积或其他参数。对于一个定义在曲面 S 上的向量函数 F(x,y,z) 或标量函数 f(x,y,z)，其在曲面 S 上的第一型曲面积分表示为：

∬S F · dS 或 ∬S f(x,y,z) dS

其中，dS 表示曲面 S 上的面元素，即

dS = ||∂r/∂u × ∂r/∂v|| du dv

其中，||∂r/∂u × ∂r/∂v|| 表示 r(u,v) 的偏导数向量的模长，du 和 dv 表示参数的微小变化量。通常情况下，我们可以将 dS 表示为关于 u 和 v 的函数形式，然后对参数 u 和 v 进行积分计算即可。

第一型曲面积分在物理学、工程学、数学等领域中有广泛的应用。例如，在物理学中，我们可以使用第一型曲面积分来计算液体沿着曲面的流量、电场通过曲面的电通量、磁场通过曲面的磁通量等问题；在工程学中，第一型曲面积分可以用来计算油管中油的体积、飞机表面受到的空气阻力等问题。

27. 第二型曲线积分

第二型曲线积分是对一个位于三维空间中的曲线上的向量场进行积分的一种积分形式，也叫做线积分或路径积分。它是曲线积分的一种形式，与第一型曲线积分不同，第二型曲线积分仅对向量场的切向量部分进行积分，不对法向量部分进行积分。

这是一个有方向的积分，直观理解对应于求做功。即存在一条空间曲线 L:G(t) = 0，该曲线是力 F(x,y,z) 对应的做功路径，其中力 F(x,y,z) 的值是力的合力大小，然后第二型曲线积分就是要求这个所做的总功。

对于一个位于三维空间中的曲线 C，其参数方程为：

r = r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩

其中，r(t) 是曲线上的一个点，t 是曲线上的参数。对于一个定义在曲线 C 上的向量函数 F(x,y,z) 或标量函数 f(x,y,z)，其在曲线 C 上的第二型曲线积分表示为：

∫C F · dr 或 ∫C f(x,y,z) ds

其中，dr 表示曲线 C 上的微小弧段，可以表示为

dr = ⟨dx, dy, dz⟩ = ⟨dx/dt, dy/dt, dz/dt⟩ dt

其中，ds 表示曲线 C 上的弧长元素，可以表示为

ds = ||dr|| = ||⟨dx/dt, dy/dt, dz/dt⟩|| dt

第二型曲线积分可以用来计算向量场沿着曲线的通量、质量沿着曲线的分布等问题，在物理学、工程学、数学等领域中有广泛的应用。

28. 第二型曲面积分

第二型曲面积分是对一个位于三维空间中的曲面上的向量场进行积分的一种积分形式，也叫做曲面积分或面积分。它是曲面积分的一种形式，与第一型曲面积分不同，第二型曲面积分仅对向量场的法向量部分进行积分，不对切向量部分进行积分。

和第二型曲线积分类似，只不过把该过程变成了在一个面上进行操作而不是一条曲线罢了。

对于一个位于三维空间中的曲面 S，其参数方程为：

r = r(u,v) = ⟨x(u,v), y(u,v), z(u,v)⟩

其中，r(u,v) 是曲面上的一个点，(u,v) 是曲面上的参数。对于一个定义在曲面 S 上的向量函数 F(x,y,z) 或标量函数 f(x,y,z)，其在曲面 S 上的第二型曲面积分表示为：

∫S F · dS 或 ∫S f(x,y,z) dS

其中，dS 表示曲面 S 上的微小面元素，可以表示为

dS = ||r_u × r_v|| du dv

其中，r_u 和 r_v 分别是曲面 S 上的两个切向量，du 和 dv 分别是曲面参数 u 和 v 上的微小增量。

第二型曲面积分可以用来计算向量场通过曲面的通量、质量在曲面上的分布等问题，在物理学、工程学、数学等领域中有广泛的应用。

29. 高斯公式是什么？

格林公式是微积分中的一个重要定理，描述了二元函数在一个封闭曲线内部的积分与该曲线所围成的区域上的二元函数偏导数的积分之间的关系。

设有二元函数 P(x,y) 和 Q(x,y)，并且它们在封闭区域 D 上连续并有一阶偏导数，那么格林公式可以表示为：

∮C P dx + Q dy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy

其中，C 表示封闭曲线，D 表示 C 所围成的封闭区域，dx 和 dy 分别表示 x 和 y 的微小增量，∂P/∂y 和 ∂Q/∂x 分别表示 P(x,y) 和 Q(x,y) 的一阶偏导数。

换句话说，格林公式给出了一个定理，即在一个平面区域上的一个封闭曲线内部的某些物理量的积分等于该区域内这些物理量的偏导数积分。因此，格林公式在热力学、电磁学、流体力学、电路分析等领域中有着广泛的应用。

30. 斯托克斯公式是什么？

斯托克斯公式，也称为斯托克斯定理（Stokes’ theorem），是向量微积分中的一个重要定理，它描述了一个曲面和一个曲线之间的关系，是格林公式和高斯公式的推广。