考研高数常用公式汇总(下)

六、积分学

1.常用的积分公式

$\int x^{k}dx=\frac{1}{k+1}{x}^{k+1}+C,k\ne -1$

$\int \frac{1}{x}dx=ln\mid x\mid +C$

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C,a>0,a\ne 1$

$\int sinxdx=-cosx+C$

$\int cosxdx=sinx+C$

$\int tanxdx=-ln\mid cosx\mid +C$

$\int cotxdx=ln\mid sinx\mid +C$

$\int secxdx=\int \frac{dx}{cosx}=ln\mid secx+tanx\mid +C$

$\int cscxdx=\int \frac{dx}{sinx}=ln\mid cscx-cotx\mid +C$

$\int se{c}^{2}xdx=tanx+C$

$\int cs{c}^{2}xdx=-cotx+C$

$\int secxtanxdx=secx+C$

$\int cscxcotxdx=-cscx+C$

$\int cscxcotxdx=-cscx+C$

$\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln\mid x+\sqrt{x^2-a^2}\mid +C$

$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln\mid \frac{x-a}{x+a}\mid +C$

$\int \frac{1}{(x+1{)}^2}dx=\frac{x}{2(1+x^2)}-\frac{1}{2}arctanx+C$

$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln\mid \frac{x+a}{x-a}\mid +C$

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int si{n}^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{sin2x}{4}+C$

$\int co{s}^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}+C$

$\int ta{n}^{2}xdx=tanx-x+C$

$\int co{t}^{2}xdx=-cotx-x+C$

2.积分学推广公式\结论

(1)分步积分推广公式：

$\int u{v}^{(n+1)}dx=u{v}^{(n)}-u^{\prime }{v}^{(n-1)}+u^{\prime \prime }{v}^{(n-2)}-\cdots +(-1{)}^n{u}^{n}v+\int u^{(n+1)}vdx+C$

(2)区间再现公式

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$

(3)点火公式

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}\cdot 1(n为大于1的奇数)$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}(n为正偶数)$

${\int }_0^{\pi }si{n}^{n}xdx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx(n为正整数)$

${\int }_0^{\pi }co{s}^{n}xdx=0(n为正奇数)$

${\int }_0^{\pi }co{s}^{n}xdx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx(n为正偶数)$

${\int }_0^{2\pi }si{n}^{n}xdx={\int }_0^{2\pi }co{s}^{n}xdx=0(n为正奇数)$

${\int }_0^{2\pi }si{n}^{n}xdx={\int }_0^{2\pi }co{s}^{n}xdx=4{\int }_0^{\pi }si{n}^{n}xdx(n为正偶数)$

(4)积分与连续性

变限积分存在就必定连续.

(5)定积分定义式的推广

定义式：${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{\infty }f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}$

当a=0，b=1时：${\int }_0^{1}f(x)dx={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{\infty }f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}$

2.常见的无法积分的不定积分

以下积分的结果不能用初等函数表示.

$\int sin\frac{1}{x}dx$

$\int cos\frac{1}{x}dx$

$\int \frac{sinx}{x}dx$

$\int \frac{cosx}{x}dx$

$\int \frac{tanx}{x}dx$

$\int \frac{e^x}{x}dx$

$\int sin{x}^{2}dx$

$\int cos{x}^{2}dx$

$\int tan{x}^{2}dx$

$\int \frac{1}{lnx}dx$

$\int e^{a{x}^2+bx+c}dx$

3.二重积分

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$$

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dy$$

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_1(\theta )}f(rcos\theta ,rsin\theta )\mathbf{r}dr$$

七、微分方程

1.变量可分离型

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$$

2.可化为变量分离型

$$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)\Rightarrow 令u=ax+by+c,\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx},则\frac{du}{dx}=a+bf(u)$$

$$\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})\Rightarrow 令u=\frac{y}{x},\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx},则\frac{du}{\phi (u)-u}=\frac{dx}{x}$$

3.一阶线性微分方程

形如$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的方程，通解为：
$$y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C]$$

4.伯努利方程

形如$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$的方程，令$z=y^{1-n}$，$\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$，原式化为：
$$\frac{1}{1-n}\cdot \frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)$$

5.$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$（不显含y）型方程

形如$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$的方程，令$y^{\prime }=p(x)$，原式化为$\frac{dp}{dx}=f(x,p)$，积分得$p=\phi (x,C_1)$，通解为：
$$y=\int \phi (x,C_1)dx+C_2$$

6.$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$（不显含x）型方程

形如$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$的方程，令$y^{\prime }=p(x)$，则$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p$，原式化为$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$；解得$p=\phi (y,C_1)$，即$\frac{dy}{dx}=\phi (y,C_1)$，化简积分得：
$$\int \frac{dy}{\phi (y,C_1)}=x+C_2$$

7.二阶常系数齐次线性微分方程

形如$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$的方程，特征方程为$r^2+pr+q=0$，则

特征根	通解
$p^2-4q>0$，两个不等实根	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
$p^2-4q=0$，两个相等实根	$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
$p^2-4q<0$，一对共轭复根	$y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$

8.二阶常系数非齐次线性微分方程

形如$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$的方程，通解=齐次微分方程通解+非齐次微分方程的一个特解。其中特解形式为：

(1)当自由项$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$的形式时，特解设为：$y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_n(x)x^k$.

其中：

• $\alpha$与自由项的$\alpha$相同；
• $Q_n(x)$是与$P_n(x)$同阶的一般n次多项式，例如$P_n(x)=x^2+x$应设$Q_n(x)=a{x}^2+bx+c$；
• $k$根据特征根与$\alpha$的关系而定，若$\alpha$不是特征根，k=0；若$\alpha$是单特征根，k=1；若$\alpha$是二重特征根，k=2；

(2)当自由项$f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x+P_n(x)sin\beta x]$时，特解设为：

$$y^{\ast }=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)cos\beta x+Q_l^{(2)}(x)sin\beta x]x^k$$
其中：

• $\alpha ,\beta$与自由项的$\alpha ,\beta$相同；
• $Q_l(x)$是$(l\in max[m,n])$的$l$阶一般多项式，$l$就是取$P(x)$和$Q(x)$的最高阶。
• $k$根据特征根与$\alpha$的关系而定，若$\alpha \pm \beta i$不是特征根，k=0；若$\alpha \pm \beta i$是特征根，k=1；

9.欧拉方程

形如$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+px\frac{dy}{dx}+qy=f(x)$的方程，

(1)当$x>0$时，令$x=e^t$，则$t=lnx$,$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$

则$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \frac{dy}{dt}$$
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{x^2}\cdot \frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\cdot \frac{d^{2}y}{d{t}^2}$$
原式化为：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^t)$$

八、微积分的应用

1.定积分计算平面图形面积

直角坐标系下：$S={\int }_a^b\mid y_1(x)-y_2(x)\mid dx$

极坐标系下：$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }\mid r_1^2(\theta )-r_2^2(\theta )\mid d\theta$

参数方程换元：$S={\int }_a^{b}y(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)x^{\prime }(t)dt$

2.定积分计算旋转体体积

(1)绕x轴旋转

$V=\pi {\int }_a^b{y}^2(x)dx$

$V=\pi {\int }_a^b\mid y_1^2(x)-y_2^2(x)\mid dx$

(2)绕y轴旋转

$V_y=2\pi {\int }_a^{b}x\mid y(x)\mid dx$

$V_y=2\pi {\int }_a^{b}x\mid y_1(x)-y_2(x)\mid dx$

3.相关变化率

若$y=f(x),x=x(t),y=y(t)$均可导，则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=f^{\prime }(x)\frac{dx}{dt}$

4.曲率

曲率公式：
$$k=\frac{\mid y^{\prime \prime }\mid }{[1+(y^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$$
曲率半径：
$$R=\frac{1}{k}=\frac{[1+(y^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}{\mid y^{\prime \prime }\mid }$$
参数方程$x=\phi (t),y=\psi (t)$曲率公式：
$$k=\frac{\mid {\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)\mid }{[{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t){]}^{\frac{3}{2}}}$$

5.积分求功

(1)变力沿直线做功

$$W={\int }_a^{b}F(x)dx$$

(2)抽水做功

$$W=\rho g{\int }_a^{b}xA(x)dx$$

6.形心

$$\bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }xd\sigma }{\underset{D}{\iint }d\sigma }=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$$

$$\bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }yd\sigma }{\underset{D}{\iint }d\sigma }=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^2(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$$

7.弧长

$$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$$

$$s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[r^{\prime }(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$$

8.旋转体表面积

$$s=2\pi {\int }_a^b\mid y(x)\mid \sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$s=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }\mid y(t)\mid \sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$$

9.傅里叶级数

(1)定义

以$2l$为周期的函数$f(x)$，满足一定条件，其傅里叶级数处处收敛，其和函数为$S(x)$，有：
$$S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi }{l}x+b_{n}sin\frac{n\pi }{l}x)$$

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_l^{-l}f(x)cos\frac{n\pi }{l}xdx,(n=0,1,2\cdots )$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_l^{-l}f(x)sin\frac{n\pi }{l}xdx,(n=1,2\cdots )$$

$S(x)=$	-
$f(x)$	x为连续点
$\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$	x为间断点
$\frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2}$	$x=\pm l$

(2)奇偶性

当f(x)在$[-l,l]$上是奇函数时，$a_n=0$，展开式只含正弦函数，称之为正弦级数.
当f(x)在$[-l,l]$上是偶函数时，$b_n=0$，展开式只含余弦函数，称之为余弦级数.