考研高数常用公式汇总(上)

写在前面：

• 之前大唐杯的笔记有很多催更，最近长春疫情严重，学校封寝之后实在是难以保持高效的学习效率，这里说声抱歉。也希望同学们自己尝试去总结知识点，一个名词一个名词去百度，才有深刻的记忆~
• 本文仅用于为自己梳理知识点用，写的比较随心所欲，有一些过于简单的公式，一些过于偏，我在做题中从未做过的公式就不记录了。
• 本文是基于张宇基础30讲梳理的，基本按照其顺序排列，复习到了高数下之后明显感觉需要背的东西变多了，这里也是以高数下为重点。
• 数学一选手，后面还有2讲内容张宇没更新，以后再补。
• 写了一半字数超了，只能分两节发布了XD。
  

一、高等数学预备知识

1.函数奇偶性

(1)$F(x)=f(x)-f(-x)$必为奇函数，$F(x)=f(x)+f(-x)$必为偶函数.

(2)导数与积分奇偶性

${\int }_a^{x}f(t)dt$	$f(x)$	$f^{\prime }(x)$
偶函数	奇函数	偶函数
奇函数	偶函数	奇函数
当${\int }_0^{T}f(x)dx=0$时，周期为T	周期为T	周期为T

(3)奇偶函数运算

$奇函数\times 奇函数=偶函数$
$奇函数\times 偶函数=奇函数$
$偶函数\times 偶函数=偶函数$

$奇函数+奇函数=奇函数$
$偶函数+偶函数=偶函数$

2.三角函数相关公式

$arctan\alpha +arccot\alpha =\frac{\pi }{2}$

$1+ta{n}^2\alpha =se{c}^2\alpha$

$1+co{t}^2\alpha =cs{c}^2\alpha$

$sin3\alpha =-4si{n}^3\alpha +3sin\alpha$

$cos3\alpha =4co{s}^3\alpha -3cos\alpha$

$sin(\alpha \pm \beta )=sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$

$cos(\alpha \pm \beta )=cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta$

$tan(\alpha \pm \beta )=\frac{tan\alpha \pm tan\beta }{1\mp tan\alpha tan\beta }$

万能公式：$u=tan\frac{x}{2}\Rightarrow sinx=\frac{2u}{1+u^2},cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2}$

3.数列、因式分解

(1)等比数列

等比数列	$a_1,a_{1}r,a_1{r}^2,\cdots ,a_1{r}^{n-1}$
通项	$a_n=a_1{r}^{n-1}$
前n项和	$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ $(r\ne 1)$
当$\mid r\mid <1$时	有${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$
$S_n=\frac{a_1}{1-r}$	$S_n=\frac{首项}{1-公比}$

(2)数列绝对值性质

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A\Rightarrow {\lim }_{n\to \infty }\mid a_n\mid =\mid A\mid$

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0\iff {\lim }_{n\to \infty }\mid a_n\mid =0$

(3)3次幂的因式分解

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

4.常用不等式

(1)基本不等式

$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

$\mid ab\mid \le \frac{a^2+b^2}{2}$

$\mid {\int }_a^{b}f(x)dx\mid \le {\int }_a^b\mid f(x)\mid dx$

(2)$x\to 0^{+}$邻域的不等式

$sinx<x<tanx$

$arctanx<x<arcsinx$

$e^x\ge x+1$

$\ln x\le x-1$

$\ln (x+1)\le x$

二、极限

1.常用泰勒公式$(x\to 0)$

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^3)$

$tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$a^x=1+xlna+\frac{l{n}^{2}a}{2!}{x}^2+\frac{l{n}^{3}a}{3!}{x}^3+o(x^3)$

$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$

2.无穷小定义

$\alpha (x)$是$\beta (x)$的	定义
高阶无穷小	$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$
低阶无穷小	$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$
同阶无穷小	$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=c\ne 0$
等价无穷小	$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$
k阶无穷小	$\lim \frac{\alpha (x)}{[\beta (x){]}^k}=c\ne 0$

3.常用等价无穷小$(x\to 0)$

$ln(1+x)\sim x$

$e^x-1\sim x$

$a^x-1\sim xlna$

$1-cosx\sim \frac{1}{2}{x}^2$

$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$

$\frac{x}{x+a}\sim x$

4.常用极限运算

${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^{\alpha }lnx=0$

${\lim }_{x\to \infty }\frac{x}{x+a}=1$

${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^{\alpha }}{c^x}=0$

5.几种左右极限不同的例子

极限	结果
${\lim }_{x\to +\infty }{e}^x$	$+\infty$
${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x$	$0$
${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{sinx}{\mid x\mid }$	$1$
${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{sinx}{\mid x\mid }$	$-1$
${\lim }_{x\to +\infty }arctanx$	$\frac{\pi }{2}$
${\lim }_{x\to -\infty }arctanx$	$-\frac{\pi }{2}$
${\lim }_{x\to 0^{+}}[x]$	$0$
${\lim }_{x\to 0^{-}}[x]$	$-1$

三、微分学

1.基本求导公式

${(x^{\alpha })}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$

${({\alpha }^x)}^{\prime }={\alpha }^{x}ln\alpha$

$({\log }_{\alpha }x{)}^{\prime }=\frac{1}{xln\alpha }$

$(\log \mid x\mid {)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

$(sinx{)}^{\prime }=cosx$

$(cosx{)}^{\prime }=-sinx$

$(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$

$(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

$(secx{)}^{\prime }=secxtanx$

${[ln(x+\sqrt{x^2+1})]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

${[ln(x+\sqrt{x^2-1})]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

${[ln(x+\sqrt{x^2+a})]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$

2.微分学推广公式\结论

(1)导数定义推论

$当{\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{x-x_0}=A$，且$f(x)在x=x_0$处连续，则有$f(x_0)=0$，$f^{\prime }(x_0)=A.$

(2)导函数保号性

$y=f(x)可导，f^{\prime }(x)\ne 0，则f^{\prime }(x)必恒正或恒负.$

(3)反函数的二阶导数

$y_x=\frac{1}{x_y}$

$y_{xx}=\frac{-x_{yy}^{\prime \prime }}{(x_y^{\prime }{)}^3}$

3.多元函数微分

(1)可微定义

$$\underset{△x\to 0,△y\to 0}{\lim }\frac{△z-(A△x+B△y)}{\sqrt{(△x{)}^2+(△y{)}^2}}$$

(2)全微分

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

(3)隐函数存在定理

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$$

(4)二阶偏导数

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{F_{xx}^{\prime \prime }{F}_y^{\prime 2}-2F_x^{\prime }{F}_y^{\prime }{F}_{xy}^{\prime \prime }+F_x^{\prime 2}{F}_{yy}^{\prime \prime }}{F_y^{\prime 3}}$$

四、无穷级数

1.泰勒公式

(1)拉格朗日余项，$\xi \in [x,x_0]$

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\xi )(x-x_0{)}^{(n+1)}$$

(2)配亚诺余项

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$$

(3)麦克劳林公式$(x_0=0)$，拉格朗日余项，$\xi \in [0,x]$

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$$

(3)麦克劳林公式$(x_0=0)$，配亚诺余项

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

2.级数敛散性判别法

$u_n$为数列通项，$s_n={\sum }_{n=0}^{\infty }{u}_n$为数列和，则有：

适用范围	方法	内容
正项级数	收敛原则（定义）	${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=A$，级数收敛；${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=+\infty$，级数发散
正项级数	比较判别法	两个正项级数，大的收敛小的必收敛；小的发散大的必发散
正项级数	比较判别法推论	两个正项级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n,{\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$且$\ne 0$，${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{v_n}=A$，$0<A<+\infty$，两个级数同敛散。
正项级数	比值判别法	级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$，${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}=A$，若$A<1$级数收敛；若$A>1$级数发散，若若$A=1$该法失效
正项级数	根值判别法	级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$，${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{u_n}=A$，若$A<1$级数收敛；若$A>1$级数发散，若若$A=1$该法失效
正项级数	积分判别法	级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$，$f(x)$在$[N,+\infty )$上是连续、非负、单调减少，$u_n=f(n)$，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$与${\int }_N^{\infty }f(x)dx$同敛散性
交错级数	莱布尼茨判别法	级数${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n,u_n>0,u_n$单调不增，${\lim }_{n\to \infty }=0$，则交错级数收敛
任意级数	绝对收敛	若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\mid u_n\mid$收敛，则称${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$绝对收敛
任意级数	条件收敛	若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\mid u_n\mid$发散，级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则称${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$绝对收敛

3.常见的级数敛散性

(1)具体级数的敛散性

级数	敛散性
(几何级数/等比级数)${\sum }_{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}$	$\mid q\mid <1,收敛$，$\mid q\mid \ge 1,发散$
(p级数)${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{x^p}$	$\mid p\mid >1,收敛$，$\mid p\mid \le 1,发散$
(p积分)${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$	$\mid p\mid >1,收敛$，$\mid p\mid \le 1,发散$
${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx$	$0<p<1,收敛$，$p\ge 1,发散$
(广义p级数)${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{xl{n}^{p}x}$	$\mid p\mid >1,收敛$，$\mid p\mid \le 1,发散$
(广义p积分)${\int }_2^{+\infty }\frac{1}{xl{n}^{p}x}dx$	$\mid p\mid >1,收敛$，$\mid p\mid \le 1,发散$
(调和级数)${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{x}$	发散
${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{x}$	收敛
${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{x}}$	收敛

(2)抽象级数的判敛散问题

${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$,${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$,${\sum }_{n=1}^{\infty }{w}_n$均是任意项级数，则有：

条件	结论
$a,b,c$为非零常数，$a{u}_n+b{v}_n+c{w}_n=0$	${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$,${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$,${\sum }_{n=1}^{\infty }{w}_n$中有两个级数收敛，第三个必收敛
${\sum }_{n=1}^{\infty }\mid u_n\mid$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散	${\sum }_{n=1}^{\infty }\mid u_n\mid$发散
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }\mid u_n\mid$不定
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n^2$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{n}$绝对收敛
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n^2$不定
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$不定
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{u_n}{n}$不定
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_{2n}$（偶数项）不定，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_{2n-1}$（奇数项）不定
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}-u_{2n})$不定
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }(u_n+u_{n+1})$收敛
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }(u_n-u_{n+1})$收敛
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n+{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_{n+1}$收敛
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n-{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_{n+1}$收敛
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛	${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n{u}_{n+1}$不定

4.常见函数的幂级数展开式

展开式	收敛域
$e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\dots$	$-\infty <x<+\infty$
$\frac{1}{x+1}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\dots$	$-1<x<1$
$\frac{1}{x-1}={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+\cdots +x^n+\dots$	$-1<x<1$
$ln(1+x)={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\dots$	$-1<x\le 1$
$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\dots \frac{\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\dots$	$当\alpha \le -1,x\in (-1,1)$，$当-1<\alpha <0,x\in (-1,1]$，$当\alpha >0,\alpha \notin N_{+},x\in [-1,1]$，$当\alpha >0,\alpha \in N_{+},x\in R$
$-ln(1-x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$	$-1\le x<1$
$\frac{1}{(1-x{)}^2}={\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}$	$-1<x<1$
$sinx={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$-\infty <x<+\infty$
$cosx={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$	$-\infty <x<+\infty$

5.幂级数运算法则

运算法则	公式
通项，下标一起变	${\sum }_{n=k}^{\infty }{a}_n{x}^n={\sum }_{n=k+l}^{\infty }{a}_{n-l}{x}^{n-l}$
通项不变，下标变	${\sum }_{n=k}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_k{x}^k+a_{k+1}{x}^{k+1}+\cdots +a_{k+l-1}{x}^{k+l-1}+{\sum }_{n=k+l}^{\infty }{a}_n{x}^n$
通项变，下标不变	${\sum }_{n=k}^{\infty }{a}_n{x}^n=x^l{\sum }_{n=k}^{\infty }{a}_n{x}^{n-l}$

五、中值定理

1.中值定理

定理	条件	结论
有界与最值定理	$f(x)$在$[a,b]$上连续，$m\le f(x)\le M$	$m,M$为$f(x)$在$[a,b]$上的最小值与最大值
介值定理	$f(x)$在$[a,b]$上连续，$m\le \mu \le M$	存在$\xi \in [a,b]，f(\xi )=\mu$
(离散的)平均值定理	$f(x)$在$[a,b]$上连续，$a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b$	至少存在一点$\xi \in [x_1,x_n]，f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$
零点定理	$f(x)$在$[a,b]$上连续，$f(a)\cdot f(b)<0$	存在$\xi \in (a,b)，f(\xi )=0$
费马定理	$f(x)$在$x_0$处可导，$f(x)$在$x_0$处取极值	$f^{\prime }(x_0)=0$
罗尔定理	$f(x)$在$[a,b]$上连续，$f(x)$在$(a,b)$上可导，$f(a)=f(b)$	存在$\xi \in (a,b)，f(\xi )=0$
拉格朗日中值定理	$f(x)$在$[a,b]$上连续，$f(x)$在$(a,b)$上可导	存在$\xi \in (a,b)，f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$
柯西中值定理	$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，$f(x),g(x)$在$(a,b)$上可导，$g^{\prime }(x)\ne 0$	存在$\xi \in (a,b)，\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$
积分中值定理	$f(x)$在$[a,b]$上连续，$f(x)$在$(a,b)$上可导	存在$\xi \in [a,b]，{\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$
导数零点定理	$f(x)$在$[a,b]$上可导，$f_{+}^{\prime }(a)\cdot f_{-}^{\prime }(b)<0$	存在$\xi \in (a,b)，f(\xi )=0$

2.常见辅助函数的构造方法

$u{v}^{\prime }+u^{\prime }v=(uv{)}^{\prime }$

$f(x)f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}[f^2(x){]}^{\prime }$

$[f^{\prime }(x){]}^2+f(x)f^{\prime \prime }(x)=[f(x)\cdot f^{\prime }(x)]$

$[f^{\prime }(x)+f(x){\phi }^{\prime }(x)]e^{\phi (x)}=[f(x)e^{\phi (x)}{]}^{\prime }$

对于上式，

当$\phi (x)=x$时，$f(x)+f^{\prime }(x)=\frac{[f(x)e^x{]}^{\prime }}{e^x}$

当$\phi (x)=-x$时，$f(x)-f^{\prime }(x)=\frac{[f(x)e^{-x}{]}^{\prime }}{e^{-x}}$

当$\phi (x)=kx$时，$f(x)+k{f}^{\prime }(x)=\frac{[f(x)e^{kx}{]}^{\prime }}{e^{kx}}$