建议从系列开头看起,第一篇文章传送门:
https://blog.csdn.net/qq_41371349/article/details/104077482
下面实战演练拉格朗日中值定理的证明。
先给出拉格朗日中值定理的定义:
其实通俗来讲,就是在光滑曲线上,对于任意两点所连成直线的斜率,必存在一点切线处的斜率等于所连直线的斜率。
下面开始四步走:
1.想出证明定理的直观思路:
我这里有两种直观的思路,都可以证明:
第一种:观察上图,想要证明曲线上一点斜率等于AB,其实可以利用Rolle定理(上一篇已证),Rolle定理的图像与上图很相似,只不过角度不一样,我们如果能把上图旋转一下,不就可以直接用Rolle定理证明了!
第二种:只需证明存在一条与AB平行的直线与曲线相切
2.分析直观思路是否可行
第一种:想在数学上旋转曲线,呵呵,太难了。退一步,用矩阵乘除可以表示曲线旋转,但由于曲线由公式而非节点表示,这个计算机图形学上的旋转也靠不住,那么,怎么办?我既然提出来了,自然有应对的办法,既然旋转太难,我们就没必要非得旋转,可以找间接旋转的,那怎么找呢?就需要观察图像中的点处的特征(很多数学证明都是从特征处入手),我发现点处红蓝间虚线是极大值,又想到数学证明两个元素相等的常用套路是证明两者相减等于0,考虑到斜率相等即导数值相等,而加减并不影响每一模块的导数值计算,所以可以采用曲线减AB来生成公式,最后证明这个公式的某点的导数值为0即可。就可得出拉格朗日中值证明的标准辅助公式:,由于这个公式在a、b两点值相等,故用Rolle定理可证。
第二种:需要用到高中的判断相切的思路,即方程只有一个解。不太用的来这个公式编辑器,我就手写拍照过程吧: