计算机组成原理学习笔记——数的表示（2）

一、进位制

• 目前使用比较广泛的几种进制数就是二进制、八进制、十进制和十六进制。

1、进位制表数法

• 二进制：基数为 2，数字符号只有“0”和“1”，逢 2 进 1，其他进制诸如八进制、十进制和十六进制也都类似。
• 习惯上，在十六进制数后面加上“H”，如17DBH；而对于二进制则用“B”来表示，如10101100B；八进制则是“O”，如147O。
• 十进制、二进制和十六进制在计算机中应用比较广泛，因此列出对照表：
  

2、进位制计数法的数学表达式

• 计算机中很多东西的背后都是由数学原理在支持的，进位制也是如此：
  

二、常用进位制之间的转换

1、二进制与十进制

• 二进制与十进制的互相转换，也就是将一个数从十进制转为二进制，或者将一个数从二进制转为十进制。

1.1、二进制转十进制

• 将一个二进制数转为十进制数，有两种方法，如下：
  

1.2、十进制转二进制

• 十进制转二进制也有两种方法：

（1）、辗转相除法

• 原理就是，将整数与小数部分分开，整数部分反复除2求余，直到商为 0；小数部分反复乘 2 取整数部分，直到小数为0.
• 示例，将十进制数 123.6875 转二进制：
• 首先处理整数部分：
  
• 所以整数部分的二进制为：1111011. 接着处理小数部分：
  
• 所以小数部分的二进制数：0.1011
• 所以整个数的二进制表示就是：1111011.1011

（2）、减权定位法

• 当十进制数比较大时，可以采用减权定位法，从而减少重复除法（乘法）的次数，如下：
  
• 所以十进制数5148 的二进制数就是 1010000011100。
• 其计算步骤，首先找一个不大于十进制数本身的 2ⁿ ,而这个 n 就是二进制数的最高位，然后将 2ⁿ 到 2⁰，用十进制数减去 2ⁿ 得到的差，再找一个不大于这个差的 2 的幂，依次类推，直到差为 0.。对应的 2ⁿ 上有权的记为 1，没有的记为 0，按从高位到低位排列出来的 10 字串就是二进制数。

2、二进制与八进制、十六进制的转换

• 由于 2³=8，2⁴=16，故 3 位二进制数正好对应一位 8 进制数，4 位二进制数对应一位 16 进制数。因此有如下规律：
  
• 故二进制数 1111000010.01101 对应八进制数 1702.32.
  
• 对应的十六进制数就是 3C2.68.
• 而将八进制或十六进制转二进制，则过程相逆即可。

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