计算机组成原理学习笔记——数的表示（1）

• 计算机中的数均存放在寄存器中，这些数从表现形式上可以分为有符号数和无符号数。

一、无符号数

• 所谓无符号数的“无符号”指的是没有“+”和“-”两种符号。
• 对于无符号数，在计算机中表示比较容易，只需将数从其他进制转换为二进制表示即可，并且由于无符号，所以寄存器中的每一位都可以用来存放数据，不用像表示有符号数那样留出一位用于表示符号。
• 由于寄存器的位数通常直接与机器字长相等，因此知道了机器字长便能知道计算机在无符号数方面上的表示范围：0~(2^(机器字长)-1)，例如 16 位，则无符号数的表示范围为：0 到65535.

二、有符号数

• 有符号数在计算机中的表示方法不唯一，但统一的是都要留出一位用作符号位。因此，在机器字长一样的情况下，有符号数的表示范围要比无符号数的小，一般有符号数的表示范围为：-(2^{机器字长-1})~2^{机器字长-1}-1；例如，同样机器字长为 16 位，有符号数的表示范围是-32768 到 32767.
• 有符号数在计算机中有四种表示方法：原码、补码、反码和移码。

1、机器数与真值

• 在开始学习有符号数的表示方法之前，了解一下机器数与真值的概念。
• 对于符号数而言，符号的“正”与“负”机器是无法识别的，通常用“0”表示“正”，“1”表示“负”，并放置在有效数的前面组成符号数，例如：
  
• 因此，把符号“数字化”的数称为机器数，而把带“+”或“-”符号的数称为真值。

2、原码

• 原码是机器数中最简单的一种表示形式，符号位位0表示正数，符号位为1表示负数，数值位即正值的绝对值，故原码表示又称为带符号的绝对值表示。
• 为了书写方便以及区别整数和小数，约定整数的符号位与数值位之间用逗号隔开，小数的符号位与数值位之间用小数点隔开。
• 因此上面的 4 个数的原码分别为 0.1011、1.1011、0,1100、1,1100
• 原码的数学定义如下：
  
• 0 在原码中有两种表示：
  

3、补码

• 补码的学习需要建立在补数的基础上，而对补数的理解需要《初等数论》的铺垫，由此可见要真正学号计算机，数学是不能太差的。对于补数的概念，可以点开百度百科·补数这个链接去简单了解下。
• 对于补数有如下结论：
  1）一个负数的补数可以用它的正数来代替，而这个正补数可以用模加上负数本身求得。
  2）一个正数和一个负数互为补数时，它们的绝对值之和即为模数。
  3）正数的补数即该正数本身。
• 补码的相关定义如下图：
  
  
• 对于负数的补码计算，除了按照上面那种用二进制数去计算，还可以用我们熟悉的十进制数计算，-1101 对应十进制的 -13，而 100000 则是 32，32-13=19，而 19 的二进制表示正是 10011，计算出来只需记得在最高位后面价格逗号即可，这是整数的补码，小数的补码如下：
  
• 同样的 0 在补码中也有两种表示方式。

4、反码

• 首先来看看反码的数学定义：
  
• 小数反码
  
• 反码的“反”，是针对原码除符号位外的每一位而言的，因为原码出符号位外每一位取反正好就是反码。因此有下面的结论。

5、就原码、补码和反码的结论

• 1）三种机器数的最高位均为符号位。符号位与数值部分之间如果是整数就用逗号隔开，如果是小数就用小数点隔开。
• 2）当真值为正时，原码、补码和反码的表示形式均相同，即符号位用“0”表示，数值部分与真值相同。
• 3）当真值为负数时，原码、补码和反码的表现形式不同，但其符号位都用“1”表示，而数值部分有这样的关系，即补码是原码的“求反加1”指的是用原码的出符号位外的每一位取反（0变成1，1变成0）并在最末位加1；反码是原码的“每位求反”，指的是用原码除符号位外的每一位取反。例如：x=-1101，则原码=1,1101，补码=1,0011，反码=1,0010；当 x=-0.0110，则原码=1.0110，补码=1.1010，反码=1.1001。
  

6、移码

• 先看看移码表示法的定义：
  
• 可以看出移码就是在真值上加上一个常数 2ⁿ，在数轴上就是真值往正方向移动了 2ⁿ 个单位，如图：
  
• 对于移码，仍然使用逗号将符号位和数值隔开。另外，移码是目前使用最广泛的，因为不同两外三种机器数，移码本身就可以看出真值的大小；与另外三种机器数还有一个不同的地方就是，移码对“0”的表示是唯一的：
  
• 移码与补码具有一定联系，体现在：同一个真值的移码和补码仅差一个符号位，若将补码的符号位由“0”改为“1”，或从“1”改为“0”，即可得到该真值的移码。
  

上一篇
下一篇