信号与系统(Python) 学习笔记 (8) 离散系统z域分析 -- z变换

• 【总目录】
  • (1) 简介 Intro
  • (2) 傅里叶 Fourier
    • 常用函数的傅里叶变换汇总
  • (3) LTI 系统 与 滤波器
    • 二次抑制载波振幅调制接收系统 Python
  • (4) 取样 Sampling
  • (5) 离散傅里叶 Discrete Fourier
  • (6) 拉普拉斯变换 Laplace Transform
  • (7) 电路与系统函数
    • 连续系统
  • (8) 离散系统z域分析
    • z变换
      

8. 离散系统 z 域分析

$\begin{aligned}连续 \;\; &\Big\vert\;\; 离散 \\ 时域\; f(t)\star h(t) &\Big\vert f(k) \star h(k) \\ 变换域\; \begin{cases} F(j\omega)\cdot H(j\omega) \\ F(s) \cdot H(s) \end{cases} &\Big\vert F(z) \cdot H(z) \end{aligned}$

---

8.1. z 变换

• 拉氏变换把连续系统微分方程转换为代数方程，同样地，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。

8.1.1. z 变换 定义

• z变换 导出

• 对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。

• 取样信号:
  $f_s(t) = f(t) \delta_T(t) = \sum^{\infty}_{k=-\infty}f(kT)\delta(t-kT)$

• 两边取双边拉普拉斯变换，时移性质，得：
  $F_{Sb}(s) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} f(kT)e^{-kTs}$

• 令 ${\color{red}z=e^{sT}}$, 上式将成为复变量 $z$ 的函数, 用 $F(z)$ 表示； $f(kT)\to f(k)$, 得
  $F_b(z) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} f(k) z^{-k}\; 称为 {\color{blue}序列 f(k)}的{\color{red}双边 z 变换}$
  $F(z) = \sum^{\infty}_{{\color{red}k=0}} f(k) z^{-k}\; 称为 {\color{blue}序列 f(k)}的{\color{red}单边 z 变换}$

• 若 $f(k)$ 为因果序列，则单边、双边 $z$ 变换相等，否则不同。今后在不致混淆的情况下，统称它们为 $z$ 变换。

• 与拉普拉斯变换相同，双边变换会涉及到多值的问题（双边z 变换必须标明收敛域），所以一般使用单边变换。

• 表示：
  $F(z) = \mathcal{Z}[f(k)]$
  $f(k) = \mathcal{Z}^{-1}[F(z)]$
  $f(k) \longleftrightarrow F(z)$

8.1.2. z 变换 收敛域

• 当幂级数收敛时， $z$ 变换才存在，即满足绝对可和条件：

$\sum^{\infty}_{k=-\infty} \big\lvert f(k) z^{-k}\big\rvert < \infty$

• 它是序列 $f(k)$ 的 $z$ 变换存在的充要条件。

• 定义:

  • 对于序列 $f(k)$, 满足
    $\sum^{\infty}_{k=-\infty} \big\lvert f(k) z^{-k}\big\rvert < \infty$
  • 所有 $z$ 值组成的集合称为其 $z$ 变换 $F(z)$ 的收敛域。

• 例: 因果序号 $f(k) = a^k \varepsilon(k)$ 的 $z$ 变换 ( $a$ 为常数)。
  $F(z) = \sum^{\infty}_{k=1}a^kz^{-k} = \lim_{N\to\infty}\sum^{N}_{k=1}(az^{-})^k = \lim_{N\to\infty} \frac{1-(az^{-1})^{N+1}}{1-az^{-1}}$

  • 仅当 $\lvert az^{-1}\rvert <1$， 即 $\vert z\vert > \vert a \vert$ 时， 其 z 变换存在。
  • $F(z) = \displaystyle \frac{z}{z-a}$
  • 收敛域为 $\vert z\vert >\vert a \vert$ （某个圆之外）

• 注意：

  • 双边z 变换必须标明收敛域
  • 对单边z变换，其收敛域是某个圆外的区域，可省略。

• 结论：

$\begin{aligned}双边 F_b(z) + 收敛域 \longleftarrow & \longrightarrow f(k) \\ 单边 F(z) \longleftarrow & \longrightarrow f(k) \end{aligned}$

• 离散序列的收敛域情况分类

序列特性	收敛域特性	图	例 $f(k)=$
有限长序列	常为整个平面		$\delta(k),\;\varepsilon(k+1)-\varepsilon(k-2)$
因果序列	某个圆外区域		$a^k\varepsilon(k)$
反因果序列	某个圆内区域		$b^k\varepsilon(-k-1)$
双边序列	(若存在)环状区域		$\begin{aligned}\begin{cases}b^k,\; &k<0 \\ a^k ,\; & k\geq 0 \end{cases}, \vert a \vert < \vert b \vert \end{aligned}$
双边序列	(不存在)环状区域		$\begin{aligned}\begin{cases}a^k,\; &k<0 \\ b^k ,\; & k\geq 0 \end{cases}, \vert a \vert < \vert b \vert \end{aligned}$

8.1.3. 常用序列的z变换

$\begin{aligned} \displaystyle \delta(k) \longleftarrow & \longrightarrow 1,\; 整个 z 平面 \\ \delta(k-m) \longleftarrow & \longrightarrow z^{-m},\; \lvert z \rvert > 0 \\ \varepsilon(k)\longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-1},\; \lvert z \rvert > 1 \\ -\varepsilon(-k-1)\longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-1},\; \lvert z \rvert < 1 \\ a^k \varepsilon(k) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-a},\; \lvert z \rvert > \lvert a \rvert \\ -a^k \varepsilon(-k-1) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-a},\; \lvert z \rvert < \lvert a \rvert \\\end{aligned}$

8.1.4. z变换 性质

• 说明：z变换性质，若无特殊说明，对单边和双边z变换均适用。

线性性质

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f_1(k) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(z),\; & 有常数a_1,a_2,\; \alpha_1<\lvert z \rvert <\beta_1 \\ f_2(k) \longleftarrow & \longrightarrow F_2(z),\; & 有常数a_1,a_2,\; \alpha_2<\lvert z \rvert <\beta_2 \\ a_1f_1(k) + a_2f_2(k) \longleftarrow & \longrightarrow a_1F_1(z) + a_2F_2(z) ,\;& \max(\alpha_1,\alpha_2)<\lvert z \rvert <\max(\beta_1, \beta_2)\\ \end{aligned}$

• 其收敛域至少是 $F_1(z)$ 与 $F_2(z)$ 收敛域的相交部分

移序性质

• 双边z变换的移位：

  • 若
    $\begin{aligned} \displaystyle f(k) \longleftarrow & \longrightarrow F(z),\; & 整数 m>0,\; \alpha<\lvert z \rvert <\beta \\ f(k\pm m) \longleftarrow & \longrightarrow z^{\pm m}F(z) ,\;& \alpha<\lvert z \rvert <\beta \\ \end{aligned}$

• 单边z变换的移位：

  • 若
    $\begin{aligned} \displaystyle f(k) \longleftarrow & \longrightarrow F(z),\; & 整数 m>0,\; \lvert z \rvert >\alpha \\ f(k - m) \longleftarrow & \longrightarrow z^{- m}F(z) + \sum^{m-1}_{k=0}f(k-m)z^{-k},\;& \lvert z \rvert >\alpha \\ f(k + m) \longleftarrow & \longrightarrow z^{+ m}F(z) - \sum^{m-1}_{k=0}f(k)z^{m-k},\;& \lvert z \rvert >\alpha \\ \end{aligned}$

• 因果序列z变换的移位：
  • 若
    $\begin{aligned} \displaystyle f(k) \longleftarrow & \longrightarrow F(z),\; & 整数 m>0,\; \lvert z \rvert >\alpha \\ f(k - m)\varepsilon(k-m) \longleftarrow & \longrightarrow z^{- m}F(z),\;& \lvert z \rvert >\alpha \\ f(k - m) \longleftarrow & \longrightarrow z^{- m}F(z),\;& \lvert z \rvert >\alpha \\ \end{aligned}$

反折性质

• k域反转(仅适用双边z变换）:
  • 若
    $\begin{aligned} \displaystyle f(k) \longleftarrow & \longrightarrow F(z),\; & \alpha<\lvert z \rvert <\beta \\ f(-k) \longleftarrow & \longrightarrow F(z^{-1}) ,\;& \frac{1}{\beta}<\lvert z \rvert <\frac{1}{\alpha} \\ \end{aligned}$

尺度变换特性

• 序列乘 $\alpha^k,\; \alpha \neq 0$

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f(k) \longleftarrow & \longrightarrow F(z),\; & 有常数a,\; \alpha<\lvert z \rvert <\beta \\ a^kf(k) \longleftarrow & \longrightarrow F(\frac{z}{a}) ,\;& \lvert a \rvert \alpha<\lvert z \rvert< \lvert a \rvert \beta\\ \end{aligned}$

微分特性

• 序列乘 $k$

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f(k) \longleftarrow & \longrightarrow F(z),\; & \alpha<\lvert z \rvert <\beta \\ kf(k) \longleftarrow & \longrightarrow (-z)\frac{d}{dz} F(z) ,\;& \alpha<\lvert z \rvert <\beta \\ k^2f(k) \longleftarrow & \longrightarrow (-z)\frac{d}{dz} \big[(-z)\frac{d}{dz} F(z)\big] ,\;& \alpha<\lvert z \rvert <\beta \\ k^mf(k) \longleftarrow & \longrightarrow \underset{m次}{(-z)\frac{d}{dz} \Big[\cdots (-z)\frac{d}{dz} \big[(-z)\frac{d}{dz} F(z)\big] \cdots \Big]} ,\;& \alpha<\lvert z \rvert <\beta \\ \end{aligned}$

时域卷积

• 若:
  $\begin{aligned} \displaystyle f_1(k) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(z),\; & \alpha_1<\lvert z \rvert <\beta_1 \\ f_2(k) \longleftarrow & \longrightarrow F_2(z),\; & \alpha_2<\lvert z \rvert <\beta_2 \\ f_1(k) \star f_2(k) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(z) \cdot F_2(z) ,\;& \max(\alpha_1,\alpha_2)<\lvert z \rvert <\min(\beta_1, \beta_2)\\ \end{aligned}$
• Remark:
  1. 收敛域一般为 $F_1(z)$ 与 $F_2(z)$ 收敛域的相交部分；
  2. 对单边z变换，要求： $f_1(k)$、 $f_2(k)$ 为因果序列。

部分和

• 若
  $\begin{aligned} \displaystyle f(k) \longleftarrow & \longrightarrow F(z),\; & \alpha<\lvert z \rvert <\beta \\ \sum^{k}_{i=-\infty}f(i) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-1}F(z) ,\;& \max(\alpha,1)<\lvert z \rvert <\beta \\ f(k)\star \varepsilon(k) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-1}F(z) ,\;& \max(\alpha,1)<\lvert z \rvert <\beta \\ \end{aligned}$

8.1.5. 初值 终值 定理

• 初值定理适用于右边序列，即适用于 $k<M$ ( $M$为整数)时 $f(k)=0$ 的序列。由象函数直接求序列的初值 $f(M),f(M+1), \cdots$ 而不必求得原序列。

• 初值定理:

  • 如果序列在 $k<M$ 时， $f(k)=0$， $f(k)\leftrightarrow F(z)$ ， $\alpha<\lvert z\rvert<\infty$
  • 则序列的初值:
    $f(M) = \lim_{z\to\infty} z^m F(z)$
  • 对因果序列 $f(k)$:
    $f(0) = \lim_{z\to\infty} F(z)$

• 终值定理:

  • 如果序列存在终值，即:
    $f(\infty) =\lim_{k\to \infty} F(k)$
  • 则序列的终值:
    $f(\infty) = \lim_{z\to1} \frac{z-1}{z}F(z) = \lim_{z\to1}(z-1) F(z)$
  • 注意：收敛域要求含单位圆。

8.1.6. 逆z变换

• 由 $F(z)$ 求 $f(k)$

• $F(z)$ 的逆z变换：

$f(k) = \frac{1}{2\pi j} \oint_c F(z) z^{k-1} dz, \; -\infty < k < \infty$

• 逆变换的计算方法：

  1. 反演积分法（留数法）；
  2. 幂级数展开法；有局限性
  3. 部分分式展开法；
  4. 用 z 变换性质求逆 z 变换。组合使用

• 一般而言，双边序列 $f(k)$ 可分解为因果序列 $f_1(k)$ 和反因果序列 $f_2(k)$ 两部分，即
  $f(k) = f_2(k) + f_1(k) = f(k) \varepsilon(-k-1)+f(k)\varepsilon(k)$

• 相应地，其z变换也分为两部分
  $F(z) = F_2(z) + F_1(z),\; \alpha<\lvert z \rvert <\beta$

  • 其中:
    $F_1(z) = \mathcal{Z} \big[f(k) \varepsilon(k)\big] = \sum^{\infty}_{k=0} f(k) z^{-k},\; \lvert z \rvert >\alpha$
    $F_2(z) = \mathcal{Z} \big[f(k) \varepsilon(-k-1)\big] = \sum^{-1}_{k=-\infty} f(k) z^{-k},\; \lvert z \rvert <\beta$

• 已知象函数 $F(z)$ 时，根据给定的收敛域不难由 $F(z)$ 分解为 $F_1(z)$ 和 $F_2(z)$，分别求对应的原序列 $f_1(k)$ 和 $f_2(k)$ ，根据线性性质，将两者相加原序列 $f(k)$。

• 幂级数展开法

  • 根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是 $z^{-1}$ 和 $z$的幂级数; 其系数就是相应的序列值。
  • 降幂排列
    $F_1(z) = \sum^{\infty}_{k=0} f_1(k) z^{-k} = f(0)+f(1)z^{-1} + f(2)z^{-2}+\cdots$
    $f(k) = \{f(0), f(1), f(2), \cdots \}$
  • 升幂排列
    $F_2(z) = \sum^{-1}_{k=-\infty} f_2(k) z^{-k} = f(-1)z^{1} + f(-2)z^{2}+\cdots$
    $f(k) = \{\cdots, f(-3), f(-2) ,f(-1) \}$
  • 原序列通常难以写成闭合形式

• 部分分式展开法
  $F(z) = \displaystyle \frac{B(z)}{A(z)} = \displaystyle \frac{b_m z^m + b_{m-1}z^{m-1} + \cdots + b_1 z + b_0}{z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots +a_1z+a_0}, \; m\leq n$

  1. $F(z)$ 为单极点 ，且不为零
     $\displaystyle {\color{blue}\frac{F(z)}{z}} = \frac{K_0}{z}+\frac{K_1}{z-z_1}+ \cdots + \frac{K_i}{z-z_i}+ \cdots + \frac{K_n}{z-z_n}$
     $K_i = (z - z_i) \frac{F(z)}{z} \big\vert _{z=z_i}$
     $F(z) = K_0 + \sum^{n}_{i=1}\frac{K_i {\color{blue}z}}{{\color{blue}z-z_i}}$
     * 根据收敛域， 将上式划分为 $F_1(z)(\lvert z \rvert >\alpha)$ 和 $F_2(z)(\lvert z\rvert < \beta)$ 两部分，由如下已知变换对，来求原函数。
     $\begin{aligned} \displaystyle \delta(k) \longleftarrow & \longrightarrow 1,\; 整个 z 平面 \\ a^k \varepsilon(k) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-a},\; \lvert z \rvert > \lvert a \rvert \\ -a^k \varepsilon(-k-1) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-a},\; \lvert z \rvert < \lvert a \rvert \\\end{aligned}$

  2. 特例 $F(z)$ 包含共轭复根 时 ( $z_{1,2} = c \pm jd = \alpha e^{\pm j\beta}$):
     $\begin{aligned} \frac{F(z)}{z} &= \displaystyle \frac{K_1}{z-c-jd}+\frac{K_1^*}{z-c+jd}\\ K_1 &= \lvert K_1\rvert e^{j\theta} \\ F(z) & = \displaystyle \frac{\lvert K_1\rvert e^{j\theta}z}{z-\alpha e^{j\beta}}+\frac{\lvert K_1 \rvert e^{-j\theta}z}{z-\alpha e^{-j\beta}}\\ \end{aligned}$
     $若 \lvert z \rvert > \alpha, \; f(k) = 2 \lvert k_1 \rvert \alpha^k \cos(\beta k + \theta) \varepsilon(k)$
     $若 \lvert z \rvert < \alpha, \; f(k) = -2 \lvert k_1 \rvert \alpha^k \cos(\beta k + \theta) \varepsilon(-k-1)$

  3. $F(z)$ 有重极点 （重根）

     • 若 $A(z) = 0$ 在 $z=p_1$ 处有 $r$ 重根,
       $F(z) = F_a(z) + F_b(z) = \frac{K_{11}z}{(z-a)^r}+ \frac{K_{12}z}{(z-a)^{r-1}}+ \cdots + \frac{K_{1r}z}{(z-a)}+F_b(z)$
       $K_{1i} = \displaystyle \frac{1}{(i-1)!} \frac{d^{i-1}}{dz^{i-1}}[{\color{red}(z - a)^r \frac{F(z)}{z}}] \Big\vert _{z=a}$
     • $F(z)$ 展开式中含 $\displaystyle\frac{z}{(z-a)^r}$ 项 ( $r>1$), 则逆变换为:
     • 若 $\lvert z \rvert >\alpha$, 对应原序列为因果序列:
       $\frac{k(k-1)\cdots (k-r+2)}{(r-1)!}a^{k-r+1} \varepsilon(k)$

• 推导记忆:
  $\begin{aligned} \mathcal{Z}\big[a^k \varepsilon(k)\big] &= \frac{z}{z-a}\\ \mathcal{Z}\big[ka^{k-1} \varepsilon(k)\big] &= \frac{z}{(z-a)^2}\\ \mathcal{Z}\big[k(k-1)a^{k-2} \varepsilon(k)\big] &= \frac{2 z}{(z-a)^3}\\ \mathcal{Z}\big[\frac{1}{2}k(k-1)a^{k-2} \varepsilon(k)\big] &= \frac{z}{(z-a)^3}\end{aligned}$

8.1.7 z变换与拉普拉斯变换的关系

Z平面与S平面的映射关系

$z = e^{sT}$
$s = \frac{1}{T}\ln z$

• $T$ 是序列的时间间隔

• $\omega_s = \frac{2\pi}{T}$ 重复频率

• 为了说明s与z的映射关系

• s表示成直角坐标形式
  $s = \sigma + j\omega$

• z 表示成极坐标形式
  $z = r e^{j\theta}$
  $z = r e^{j\theta} = e^{(\sigma + j\omega) T} = e^{\sigma T}e^{j\omega T}$

• 于是得到
  $r = e^{\sigma T} = e^{\frac{2\pi}{\omega_s}{\sigma}}$
  $\theta = \omega T = 2\pi \frac{\omega}{\omega_s}$

• 上式表明s平面与z平面有如下的映射关系：

1. s平面上的虚轴 ( $\sigma=0，\;s=j\omega$) 映射到z平面是单位圆 $r=1$ ，
   其右半平面 $\sigma>0$ 映射到 z 平面的单位圆外 $r>1$，
   而左半平面 $\sigma<0$ 映射到 z 平面的单位圆内 $r<1$。
2. s平面的实轴( $s=\sigma，\omega=0$) 映射到z平面的正实轴；
   原点（ $s=0$）映射到z平面的正实轴上一点( $r=1,\theta=0$) 。
3. 由于 $e^{j\theta}$ 是以 $\omega_s$ 为周期的周期函数，
   因此在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期旋转，每平移 $\omega_s$ ，则沿单位圆转一圈。
   所以 $s\sim z$ 映射并不是单值的。

s变换与z变换的转换公式

• z变换的定义式是通过理想取样信号的拉普拉斯变换引出的，由此，离散序列的z变换和理想取样信号的拉普拉斯变换之间具有如下关系：
  $F(z)\big\vert_{z=e^{sT}} = F_s(s)$

• 表明: z变换式中令 $z = e^{sT}$, 则变换式就成为相应的理想取样信号的拉普拉斯变换。

  • 如果进一步地，令拉普拉斯变换中的变量 $s=j\omega$，则
    $F(z) \big\vert_{z=e^{j\omega T}} = F_s(j\omega)$
  • 上式变为与序列相对应的理想取样信号的傅里叶变换。

• 讨论：若连续信号 $f(t)$ 由N项指数信号相加而成(单极点)：
  $f(t) = f_1(t) + f_2(t) + \cdots + f_N(t) = \sum^{N}_{i=1}f_i(t) = \sum^{N}_{i=1} A_i e^{p_i t} \varepsilon (t)$

  • 容易求得，其拉普拉斯变换为：
    $F(s) = \sum^{N}_{i=1} \frac{A_i}{s-p_i}$
  • 对应的采样离散序列 $f(k)$ 由 N 项指数序列相加而成
    $f(k) = f_1(k) + f_2(k) + \cdots + f_N(k) = \sum^{N}_{i=1}f_i(k) = \sum^{N}_{i=1} A_i {\color{red}e^{p_i kT}} \varepsilon (k)$
  • 它的z变换为
    $F(z) = \sum^{N}_{i=1}\frac{A_i z}{z- e^{p_i T}}$
    $F(s) = \sum^{N}_{i=1}\frac{A_i}{z- p_i}$

• 结论：如果 $F(s)$ 有N个单极点 $p_i$，则相应的z变换即为 $F(z)$。

8.1.8. 差分方程的z变换解

• 单边 z 变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，故可求系统的零输入、零状态响应和全响应。
  $\sum^{n}_{i=0} a_{b-i}y(k-i) = \sum^{m}_{j=0} b_{m-j} f(k-j)$

• 设 $f(k)$ 在 $k=0$ 时接入，系统初始状态为 $y(-1),y(-2),\cdots y(-n)$ 。

• 取单边 z 变换得：
  $\sum^n_{i=0} a_{n-i}\big[z^{-i}Y(z) + \sum^{i-1}_{k=0}y(k-i)z^{-k}\big] = \sum^{m}_{j=0} b_{m-j}\big[z^{-j}F(z)\big]$
  $\big[\sum^n_{i=0} a_{n-i}z^{-i}Y(z)\big] + \sum^n_{i=0} a_{n-i}\big[\sum^{i-1}_{k=0}y(k-i)z^{-k}\big] = \big[ \sum^{m}_{j=0} b_{m-j}z^{-j}\big]F(z)$
  $Y(z) = \frac{M(z)}{A(z)}+\frac{B(z)}{A(z)}F(z) = Y_{zi}(z) + Y_{zs}(z)$

• 系统函数:
  $H(z) = \frac{Y_{zs}(z)}{F(z)} = \frac{B(z)}{A(z)}$
  $h(k)\longleftrightarrow H(z)$

• 说明：前向差分方程的解法：

1. 方法1：
   用左移性质:
   $f(k+m) \leftrightarrow z^m F(z) - \sum^{m-1}_{k=0} f(k)z^{m-k}$
   初始条件: $y(0), y(1), \cdots$

2. 方法2：
   转变为后向差分方程，用右移性质求解
   初始条件: $y(-1), y(-2), \cdots$

• 若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。

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