算法的时间复杂度和空间复杂度的计算

算法：解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，每条指令可表示一条或多个操作。
设计算法的要求：正确性、可读性、健壮性、时间效率高且空间使用率低、简单性。
时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量，简单说时间复杂度是语句执行的此数；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

算法存在好坏、平均和最坏情况：
1.最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上届）
2.平均情况：任意输入规模的期望运行次数
3.最好情况：任意输入规模的最小运行次数，通常最好情况不会出现（下届）
在实际中通常最关注的是算法的最坏运行情况。理由如下：
1.一个算法的最坏情况的运行时间是在任意输入下的运行时间上届
2.对于某些算法，最坏的情况出现的较为频繁
3.大体上看，平均情况与最坏情况一样差

那时间复杂度和空间复杂度如何计算呢？

一、时间复杂度的计算方法

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3.如果最高阶项系数存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

1.对于非递归算法：可以直观的算出它的执行次数

void Test(int n)
{
    int iCount = 0;
    for (int iIdx = 0; iIdx < 10; ++iIdx)
    {
        iCount++;
    }
}


//执行总次数：f(n)=10
//则O(n)=O(1)

void Test(int n)
{
    int iCount = 0;
    for (int iIdx = 0; iIdx < 10; ++iIdx)
    {
        iCount++;
    }
    for (int iIdx = 0; iIdx < 2 * n; ++iIdx)
    {
        iCount++;
    }
}

//总执行次数：f(n)=n+2n
//则O(n)=O(n)

void Test2(int n)
{
    int iCount = 0;
    for (int iIdx = 0; iIdx < 10; ++iIdx)
    {
        iCount++;
    }

    for (int iIdx = 0; iIdx < 2 * n; ++iIdx)
    {
        iCount++;
    }

    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            iCount++;
        }
    }
}

//总执行次数：f(n)=10+2n+n^2
//则O(n)=O(n^2)

2.对于递归算法的时间复杂度：递归总次数*每次递归次数

对于这个求n的阶乘的算法：

int Jie_Cheng(int n)
{
    if (n < 2)
        return 1;
    else
        int i = n;
        int tmp = Jie_Cheng(n - 1);
        return n * tmp;
}
//每次递归次数：2
//递归总次数：n
//2*n   所以O(n)=O(n)

一、空间复杂度的计算方法

空间复杂度：不是计算实际占用的空间，而是计算整个算法的辅助空间单元的个数，与问题的规模没有关系
1.忽略常数，用O(1)表示
2.递归算法的空间复杂度=递归深度*每次递归所要的辅助空间
3.对于单线程来说，递归有运行时堆栈，求的是递归最深的那一次压栈所耗费的空间的个数，因为递归最深的那一次所耗费空间足以容纳它所有递归过程。递归是要返回上一层的，所以它所需要的空间不是一直累加起来的。

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