【LIS & LCS】最长上升子序列+最长公共子序列+dp

题目

题意
给定两个序列A和B。
求序列A的LIS和序列AB的LCS的长度。
注意，LIS为严格递增的，即a1<a2<…<ak(ai<=1,000,000,000)。
Input
第一行两个数n，m（1<=n<=5,000,1<=m<=5,000）
第二行n个数，表示序列A
第三行m个数，表示序列B
Output
输出一行数据ans1和ans2，分别代表序列A的LIS和序列AB的LCS的长度

题目大意

本题给出两个序列A与B，要求得到A中最长上升子序列长度和A、B最长公共子序列长度。

解题思路

这些LIS和LCS问题是一类典型且基础的dp问题，主要在于掌握转移方程，例如最长上升子序列的初始条件和转移方程就是：

dp[1] = 1
dp[i] = max(dp[j] + 1); if(j < i && A[j] < A[i])

最终输出结果就是dp[i]~dp[n]中最大的。

同样最长公共子序列的初始条件和转移方程也很好得：

dp[1][0] = dp[0][1] = dp[0][0] = 0
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;if(A[i] = B[j])
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);else

最终结果是dp[A.length][B.length].

另外在实现的时候注意最长上升子序列初始为1而不是0，因为即便只有一个数也是1，不要因为不存在连续上升子序列导致输出结果为0从而出错。

具体代码

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#define MAXN 100005
#define ll long long

using namespace std;

int a[5005],b[5005];
int f[5005];
int dp[5005][5005];

int main()
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i];
	} 
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		cin >> b[i];
	}
	f[1] = 1;
	int max_a = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		f[i] = 1;
		for(int j = i-1; j > 0; j--)
		{
			if(a[i] > a[j])
			{
				f[i] = max(f[i],f[j]+1);
			}
		}
		max_a = max(max_a,f[i]);
	}
	dp[1][0] = dp[0][1] = dp[0][0] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for(int j = 1; j <= m; j++)
		{
			if(a[i] == b[j])
			{
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
			}
			else
			{
				dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
			}
		}
	}
	cout << max_a << " " << dp[n][m] << endl;
	return 0;
}