LCS：最长公共子序列
就是说给你两个序列x={x1,x2,x3……,xm}和y={y1,y2,y3,……，ym}找出x和y的一个最长的公共子序列。
思路：如果是暴力枚举则为枚举x序列的所有子序列，检查每个子序列是否也是y的子序列，记录找到最长的公共子序列，共有2^m种情况，暴力枚举的时间复杂度为指数阶.时间复杂度特别高，在m比较小时可以直接枚举，但如果很大时，会超时。
所以想到了动态规划，看了好几本书对这个动态规划方程的推导讲解，但看不是很懂，趣学算法里面是拿反证法推导的，感觉比较明了易懂。
分析：假设已经知道Zk是xm和yn的最长公共子序列。
1.若xm=yn=zk,则Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
反证法证明若Zk-1不是最长公共子序列，则设M为Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，M的长度大于Zk-1的长度，M>Zk-1,Xm-1和Yn-
1的后面添加一个相同的字符Xm=Yn,则M+{Zk}>Zk-1+{Zk}=|Zk|，那么Zk不是Xm和Yn的最长公共子序列，这与假设不符。
2，若xm!=yn&&xm!=zk，我们可以把Xm去掉，那么Zk是Xm-1和Yn的最长公共子序列。
反证法证明若Zk不是最长公共子序列，则设M为Xm-1和Yn的最长公共子序列，M的长度大于Zk的长度，M>Zk,Xm-1和Yn的后面添加一个字符Xm,则M也是Xm和Yn的最长公共子序列，因为M>Zk,那么Zk不是Xm-1和Yn的最长公共子序列，这与假设不符。问题得证。
3.若xm!=yn&&yn!=zk，我们可以把Yn-1去掉，那么Zk是Xm和Yn-1的最长公共子序列。
反证法证明若Zk不是最长公共子序列，则设M为Xm和Yn-1的最长公共子序列，M的长度大于Zk的长度，M>Zk,Xm和Yn-1的后面添加一个字符Yn,则M也是Xm和Yn的最长公共子序列，因为M>Zk,那么Zk不是Xm和Yn-1的最长公共子序列，这与假设不符。问题得证。
根据以上推理，设C[i][j]表示Xi和Yj的最长公共子序列长度，若Xm=Yn=Zk,那么C[i][j]=C[i-1][j-1]+1;
若Xm!=Yn；那么我们只需要求解Xi和Yj-1的最长公共子序列和Xi-1和Yj-1的最长公共子序列，比较它们的长度哪一个更大，就取哪一个值。即C[i][j]=max{C[i][j-1],C[i-1][j]}则递归方程为：
c[i][j]=0,(i=0||j=0) c[i][j]=c[i-1][j-1]+1(i,j>0&&xi==yj) c[i][j]=max{c[i][j-1],c[i-1][j]};
LIS:最长上升子序列问题。
给定n个整数A1，A2,A3……Am，按照从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升子序列，子序列可以理解为：删除0个或多个数，其他顺序不变，例如：1，6，2，3，7，5.可以选出1，2，3，5也可以选出1，6，7.但是前者更长，选出的子序列中相邻元素不相等。子序列是指不一定连续但先后顺序一致的n个数字或字符，即可以去掉字符串或者一串数字的部分字符，但不改变先后顺序。
求解方法：化简为子问题，求前n个数的最长上升子序列。
2,7,1,5,6,4,3,8,9。
d(i)(i属于[1,n])来表示前i个数以a[i]结尾的最长上升子序列。
前一个数 d(1)=1 子序列为2
前二个数 d(2)=d(1)+1 子序列为2,7
前三个数 d(3)=1 子序列为1
前四个数 d(4)=d(3)+1 子序列为2,5
前五个数 d(5)=d(4)+1 子序列为2,5,6
前六个数 d(6)=d(1)+1 子序列为2,4
前七个数 d(7)=d(1)+1 子序列为2,3
前八个数 d(8)=d(5)+1 子序列为2，5，6，8
前九个数 d(9)=d(8)+1 子序列为2，5，6，8，9
d(i)=max{d(1),d(2),d(3)……d(i)} LIS d(9)=5;
dp[i]=max{dp[j]+1,dp[i]};
边界处理 dp[i]=1(1<=i<=n)
注意分治和动规的区别，分治算法是把原问题分解为若干子问题，自顶向下求解各子问题，合并子问题的解，从而得到原问题的解，这就不可避免的出现很多重复的运算，动规是也是把原问题分解为若干子问题，但是动规是自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中，再求解大的子问题时，直接从表格中查找子问题的解，避免重复计算，提高了效率。
求解动态规划问题的常用方法：
1.模型匹配法，例如数塔模型，线性dp，最长上升子序列，最长公共子序列，最大子序列和等。
2.三要素法：仔细分析尝试着确定动态规划三要素，不同问题确定方向不同：
先确定阶段的问题：数塔问题
先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。
先确定决策的问题：背包问题
3.寻找规律法：耐心推几组数据，看规律，找规律间的共性，有点贪心的意思。
4.边界条件法：找到问题的边界条件考虑边界条件和他的邻接状态之间的关系。
另一个经典模型
数字三角形问题：非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数，从第一行的数开始，每次可以往左下或者右下走一格，知道走到最下行，把沿途经过的数全部加起来，如何才能使得这个和尽量大？
回溯法分析：动态的决策问题，每次有两种选择——左下和右下，一个n层数字三角形的完整路线有2^n-1条，当n很大时回溯法的速度会特别慢。
把当前的位置（i,j）看成一个状态，然后定义状态（i,j）的指标函数d（i，j）为从格子(i,j)出发时能得到的最大和，不同状态之间是如何转移的？从格子(i,j)出发有两种决策，如果往左走，则走到（i+1,j）后需要求从(i+1,j)出发后能得到的最大和这一问题，
如果往右走，则走到（i+1,j+1）后需要求从(i+1,j+1)出发后能得到的最大和这一问题，由于在这两个决策中自由选择，所以应选择d(i+1,j)和d(i+1,j+1)中较大的一个。
所以状态转移方程为：d(i,j)=a(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}.