C++动态规划01背包

动态规划01背包实现：

借鉴的这篇博文：

https://www.cnblogs.com/Christal-R/p/Dynamic_programming.html

题目：在背包容量为8的情况下，根据下图的数据动态规划得到最优解，实现右图所示的程序代码

最重要的就是寻找递推关系式：

定义V[i,j]:当背包容量为j时，前i个物品最佳组合对应的值。

递推关系：

（1）当背包的容量不允许装入第i件物品时，和前一个物品装入背包一样。即：V[i][j]=V[i-1][j]

（2）当背包的容积可以装入第i件物品时，分两种情况，A装入第i件物品不是最优，还不如不装。B装入第i件物品是最优。即:V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i][j-w[i]]+v[i])

代码实现：

#include<iostream>
 using namespace std;
 int w[5]={0,2,3,4,5};
 int v[5]={0,3,4,5,6};
 int V[5][9]; 
 int c=8;
 int B()
 {
 	int i,j;
 	for(i=0;i<5;i++)
	{
 		V[i][0]=0;
 		for(j=0;j<c+1;j++)
		 {
 			V[0][j]=0;
 			if(j<w[i])
 				V[i][j]=V[i-1][j];
			else
			 	V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
		 }
	}
 }
int main(){
B();
//显示填好的表格 
for (int i=0;i<5;i++)
{
	for(int j=0;j<9;j++)
	{
		cout<<V[i][j]<<"  ";
	}
	cout<<endl;
}
cout<<"最优结果是："<<V[4][8];
 	return 0;
 }

　下面是带上回溯找出解的组成的代码：

 #include<iostream>
 using namespace std;
 int w[5]={0,2,3,4,5};
 int v[5]={0,3,4,5,6};
 int V[5][9]; 
 int c=8;
 int item[4];
 int B()
 {
 	int i,j;
 	for(i=0;i<5;i++)
	{
 		V[i][0]=0;
 		for(j=0;j<c+1;j++)
		 {
 			V[0][j]=0;
 			if(j<w[i])
 				V[i][j]=V[i-1][j];
			else
			 	V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
		 }
	}
 }
void FindWhat(int i,int j)//寻找解的组成方式
{
    if(i>=0)
    {
        if(V[i][j]==V[i-1][j])//相等说明没装
        {
            item[i]=0;//全局变量，标记未被选中
            FindWhat(i-1,j);
        }
        else if( j-w[i]>=0 && V[i][j]==V[i-1][j-w[i]]+v[i] )
        {
            item[i]=1;//标记已被选中
            FindWhat(i-1,j-w[i]);//回到装包之前的位置
        }
    }
}

int main(){
B();
//显示填好的表格 
cout<<"得到的表格如下图所示："<<endl;
for (int i=0;i<5;i++)
{
	for(int j=0;j<9;j++)
	{
		cout<<V[i][j]<<"  ";
	}
	cout<<endl;
}
cout<<"最优结果是："<<V[4][8]<<endl;
FindWhat(4,8);
cout<<endl;
cout<<"回溯得到的解是："<<endl;
for(int i=1;i<5;i++){
if(item[i]==1) 
cout<<"背包里面有第"<<i<<"号物品"<<endl; 
//cout<<item[i]<<" ";
}
 	return 0;
 }

贴上结果便于理解：

时间复杂度：

O(物体个数*背包容积)=O(number*capacity)

空间复杂度：

用二维表实现的，所以和时间复杂度一样。

O(物体个数*背包容积)=O(number*capacity)

C++动态规划01背包

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