FFT算法详解

看到 FFT，肯定有很多人崩溃了，其实没那么难，很容易就能懂。首先，我们需要了解复数。
众所周知，\(\sqrt 1=\pm 1,\sqrt 4=\pm 2\)。那么，\(\sqrt -1\) 是多少呢？肯定不是 \(1\)，因为 \(1^2=1\)，当然也不是 \(-1\)，因为 \((-1)^2=1\)。所以我们定义 \(i\) 表示 \(\sqrt -1\)。那么，\(\sqrt -4=\pm 2i\)。一个复数就形如 \(a+bi\)，它的共轭复数是 \(a-bi\)。
我们先看看，复数的四则运算分别长啥样。
加法：\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)，很简单。
减法：\((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)，也很简单。
乘法：\((a+bi) \times (c+di)\) 是什么呢？可以用乘法分配律拆开，\((a+bi) \times (c+di)=a \times c+a \times di+bi \times c+bi \times di=(a \times c-b \times d)+(a \times d+b \times c)i=(ac-bd)+(ad+bc)i\)。
除法：因为分母是复数，所以我们需要把它乘一个共轭的复数，根据平方差公式，分母就变成了实数，然后就很简单了。\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)。