十九、行列式的意义

矩阵行列式的意义：1. 求解2x2矩阵的逆矩阵 2. 求解平行四边形的面积 3. 作为面积因子

1. 求解2x2矩阵的逆矩阵

求2x2矩阵的逆矩阵时，需要用到行列式，前面已经介绍过了

2. 求解平行四边形的面积

平行四边形的一个顶点位于笛卡尔坐标系的原点，将与原点相连的两边当成位置向量，再由两个位置向量构成一个矩阵，此时矩阵的行列式的绝对值，就是平行四边形的面积

假设：

$\vec{v_1} = \begin{bmatrix} a\\ c \end{bmatrix} \:\:\:\: \vec{v_2} = \begin{bmatrix} b\\ d \end{bmatrix}$

两个向量构成的矩阵为：

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

则两个向量构成的平行四边形的面积为：

$area = \left | det(\mathbf{A}) \right | = \left | ad-bc \right |$

证明：

v2在v1上的投影为：

$Proj_{\vec{v_1}}(\vec{v_2}) = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1}$

平行四边形的高h的平方为：
$\begin{align*} h^2 &= \left \| \vec{v_2} \right \| ^2 - \left \|\frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1}\right \|^2\\ &= (\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}) - ((\frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1}) \cdot (\frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1})) \\ &= (\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}) - (\frac{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2})^2}{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_1})^2} (\vec{v_1} \cdot \vec{v_1})) \\ &= (\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}) - \frac{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2})^2}{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_1})} \end{align*}$

平行四边形的面积为：

$\begin{align*} area^2 &= \left \| \vec{v_1} \right \| ^2 h^2\\ &= (\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}) \left ((\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}) - \frac{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}) ^ 2}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}} \right ) \\ &= (\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}) (\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}) - (\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}) ^ 2\\ &= (a^2 + c^2)(b^2 + d^2) - (ab + cd) ^ 2 \\ &= a^2b^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + c^2d^2 - (a^2b^2 + 2abcd + c^2d^2) \\ &= a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 \\ &= (ad - bc)^2 \end{align*}$

$area = \left | ad - bc \right |$

这是一个非常巧妙的结果，矩阵的列向量构造了平行四边形，平行四边形的面积就等于矩阵行列式的绝对值，并且交换矩阵的行或列，面积不变。

3. 作为面积因子

如果有一个区域（形状任意），假设它的面积为Area，对它进行T变换，得到一个新的区域，新区域的面积为原始面积Area乘以变换矩阵行列式的绝对值。变换矩阵的行列式，本质上是一个面积比例

证明：

假设长方形由：

$\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \:\:\:\: \vec{v_2} = \begin{bmatrix} k_1\\ 0 \end{bmatrix} \:\:\:\: \vec{v_3} = \begin{bmatrix} k_1\\ k_2 \end{bmatrix} \:\:\:\: \vec{v_4} = \begin{bmatrix} 0\\ k_2 \end{bmatrix}$

四个向量指定的点，连接起来构成，长方形的面积为：

$area = k_1k_2$

长方形在变换T下的像，等于对长方形的四个顶点做变换，然后把这些点连接起来。

假设变换T为：

$T(\vec{x}): R^2 \rightarrow R^2$

$T(\vec{x}) = A \vec{x} = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \vec{x}$

$T(\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$T(\begin{bmatrix} k_1\\ 0 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ak_1 \\ ck_1 \end{bmatrix}$

$T(\begin{bmatrix} k_1\\ k_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ak_1 + bk_2 \\ ck_1 + dk_2 \end{bmatrix}$

$T(\begin{bmatrix} 0\\ k_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} bk_2 \\ dk_2 \end{bmatrix}$

根据上一小节的介绍，长方形经过T变换后的像，为平行四边形，因此像的面积为

$B = \begin{bmatrix} ak_1 & bk_2\\ ck_1 & dk_2 \end{bmatrix}$

的行列式的绝对值，即：

$\begin{align*} area &= \left | det(B) \right | \\ &= \left | k_1k_2ad - k_1k_2bc \right |\\ &= \left | (k_1k_2)(ad - bc) \right | \\ &= \left | (k_1k_2) det(A) \right | \end{align*}$

因此，长方形经过T变换后的像的面积，等于长方形的原始面积，乘以变换矩阵行列式的绝对值。同理，任意形状的区域也满足该性质，因为任意区域本质上由一系列的长方形构成