十八、行列式

行列式就是一个数字而已。

1. 2x2矩阵的行列式

假设：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

那么A逆为：

$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$

但是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵，对于矩阵A，当ad-bc等于0时，上面的等式将没有意义，因此，ad-bc是个非常有趣的数，我们应该给它起一个名字，就叫行列式吧。

$Det(\mathbf{A}) = \left | \mathbf{A} \right | = \left | \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \right | = \left | \begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix} \right | = ad-bc$

很多人觉得既写竖线，又写中括号很麻烦，所以就省略了中括号。

行列式不等于0，等价于矩阵A存在逆矩阵。行列式的重要作用就是判断矩阵是否存在逆矩阵。

2. 3x3矩阵的行列式

假设

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

那么A的行列式定义为：

$Det(A)=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

注意，上面的式子是人为定义的3x3矩阵的行列式，其思路和2x2矩阵相同

3. nxn矩阵的行列式

假设

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

在定义nxn矩阵的行列式之前，先定义子矩阵 $\mathbf{A}_{ij}$ ：矩阵 $\mathbf{A}$ 忽略掉第i行和第j列，剩余的(n-1)x(n-1)矩阵即为子矩阵 $\mathbf{A}_{ij}$

nxn矩阵的行列式，实际是个递归调用：

$det(\mathbf{A}) =a_{11}det(\mathbf{A_{11}}) - a_{12}det(\mathbf{A_{12}}) + a_{13}det(\mathbf{A_{13}}) - \cdots + \cdots \pm a_{1n}det(\mathbf{A_{1n}})$

递归公式：用自己定义自身，不过自己是自身的稍稍简化版，持续递归下去时，你会得到越来越简化的式子，直到最基本的东西。

4. 沿其它行或列求nxn矩阵的行列式

可以沿其它行或列求nxn矩阵的行列式，暂未证明。这很有用，因为我们可以选择行列中0较多的来做，这样可以简化计算。唯一要注意的是符号位，第i行，第j列的符号为：

$sign(i,j)=(-1)^{i+j}$

假设

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

选择第i行求行列式：

$\begin{align*} det(\mathbf{A})&=(-1)^{i+1}a_{i1}det(\mathbf{A_{i1}})+(-1)^{i+2}a_{i2}det(\mathbf{A_{i2}}) + \cdots + (-1)^{i+n}a_{in}det(\mathbf{A_{in}}) \\ &= \sum_{j=1}^{j=n}(-1)^{i+j}a_{ij}det(\mathbf{A_{ij}}) \end{align*}$

5. Sarrus法则（萨吕法则）

萨吕法则可以快速的求解3x3矩阵的行列式。

6. 矩阵行列式的一些属性

6.1 当矩阵某一行乘以系数时的行列式计算

仅仅有一行乘以某个系数k时，新行列式等于k倍的原始行列式。

假设

${A}'=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ ka_{i1} & ka_{i2} & ka_{i3} & \cdots & ka_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

那么

$\begin{align*} det({A}')&=\sum_{j=1}^{j=n}(-1)^{i+j}ka_{ij}det({A}'_{ij})\\ &=\sum_{j=1}^{j=n}(-1)^{i+j}ka_{ij}det(A_{ij})\\ &= k\sum_{j=1}^{j=n}(-1)^{i+j}a_{ij}det(A_{ij})\\ &= kdet(A) \end{align*}$

同理

$det(kA)=k^ndet(A)$

6.2 当行相加时矩阵行列式的规律

这是一个很特殊的情况，三个矩阵除了一行不同外，其它行都相同，且其中一个矩阵的那一行，刚好等于另外两个矩阵的那一行的和，那么第一个矩阵的行列式等于另外两个矩阵的行列式的和（行相加，不是矩阵相加）：

假设

$\mathbf{X}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ x_{i1} & x_{i2} & \cdots & x_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

$\mathbf{Y}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ y_{i1} & y_{i2} & \cdots & y_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

$\mathbf{Z}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ x_{i1}+y_{i1} & x_{i2}+y_{i2} & \cdots & x_{in}+y_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

那么

$det(\mathbf{X}) = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}x_{ij}det(\mathbf{A_{ij}})$

$det(\mathbf{Y}) = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}y_{ij}det(\mathbf{A_{ij}})$

$\begin{align*} det(\mathbf{Z}) &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(x_{ij}+y_{ij})det(\mathbf{A_{ij}}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}x_{ij}det(\mathbf{A_{ij}}) + \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}y_{ij}det(\mathbf{A_{ij}}) \\ &= det(\mathbf{X}) + det(\mathbf{Y}) \end{align*}$

即Z矩阵的行列式等于X矩阵和Y矩阵行列式的和

6.3 有相同行的行列式

有相同行(或列)的矩阵的行列式为0（两种证明方法，一种由交换矩阵的属性推导出；一种从可逆的条件着手，得到结果）

假设

$\underset{n \times n}{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

定义术语 $r_i$ 为：

$r_i = a_{i1} \: a_{i2} \: \cdots a_{in}$

也可以写成行向量的形式：

$\vec{r_i} = \left[ a_{i1} \: a_{i2} \: \cdots a_{in} \right]$

因此矩阵A可以写成 $r_i$ 的形式（这种形式更简单）：

$\underset{n \times n}{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} r_1\\ r_2\\ \cdots\\ r_i\\ \cdots\\ r_j\\ \cdots\\ r_n \end{bmatrix} \: or \: \underset{n \times n}{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} \vec{r_1}\\ \vec{r_2}\\ \cdots\\ \vec{r_i}\\ \cdots\\ \vec{r_j}\\ \cdots\\ \vec{r_n} \end{bmatrix}$

交换矩阵（swap matrix）

把原矩阵的i,j行互换后的矩阵，称为原矩阵的交换矩阵

交换矩阵的行列式，等于负的原矩阵的行列式（该属性暂未证明）

$\mathbf{S}_{ij}=\begin{bmatrix} \vec{r_1}\\ \vec{r_2}\\ \cdots\\ \vec{r_j}\\ \cdots\\ \vec{r_i}\\ \cdots\\ \vec{r_n} \end{bmatrix}$

$det(\mathbf{S_{ij}}) = - det(\mathbf{A})$

假设矩阵A的第i行等于第j行，那么交换i，j行，矩阵不变，因此：

$if \: row \: i = row \: j \\ \Rightarrow \mathbf{S_{ij}} = A \\ \Rightarrow det(\mathbf{S_{ij}}) = det(\mathbf{A})$

结合“交换矩阵的行列式，等于负的原矩阵的行列式”，因此当矩阵的两行相等时：

$-det(\mathbf{A}) = det(\mathbf{A})$

$\Rightarrow det(\mathbf{A}) = 0$

另一种证明方法：

$matrix \: invertible \Leftrightarrow rref \: is \: I_n$

$\begin{align*} duplicate \: rows &\Rightarrow never \: get \: rref \: to \: be \: I_n \\ &\Rightarrow not \: invertible \\ &\Rightarrow det = 0 \end{align*}$

6.4 行变换后的行列式

有些行变换会改变行列式的值，有些行变换不会，例如，使用“第j行-c乘以第i行”来替代“第j行”就不会改变行列式的值：

replace rowj with rowj - C * rowi, it does not change the determinant of A ，因此求行列式时，我们可以利用该行变换简化行列式的求解

6.5 上三角矩阵的行列式

上三角矩阵：upper triangular matrix，主对角线以下的元素都为0的矩阵，例如：

$\underset{n \times n}{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{bmatrix}$

上三角矩阵的行列式等于主对角线上的所有元素的乘积：

$det(\mathbf{A}) = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$

证明（从数学归纳法的角度）：

每次选择第一列进行计算

$\left | \mathbf{A} \right | = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \cdots = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$

扩展：下三角矩阵的行列式也等于主对角线上的所有元素的乘积。

可以利用矩阵行列式的属性（行变换，交换两行等），将矩阵化为上三角矩阵，然后再求行列式，这样求解将非常简单