向量与行列式笔记

向量是指具有大小和方向的量，在物理学中，通常将向量称为矢量
标量是指只有大小的量，在物理学中，也叫做标量

箭头的方向表示向量的方向，线段则表示向量的大小
向量的众多特性可以是很多概念得到简化

一，向量

1,向量的表示

• 直角坐标系表示：带箭头的线段
• 印刷体表示：粗体字母 ，如a、b、D
• 手写体表示：字母上加一个向右的箭头，如 $\vec{a}$、 $\vec{b}$、 $\vec{D}$
• 代数表示： $a=<x_1,x_2>=(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$
• 模的表示： $|a|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

2,维度和分量

首先这里可以打开思路，有人问我，你能想象四维的空间吗？不能想象就别乱说了。我的确想象不出来，的确我也不能再平面上画出一个四维的空间，但是这里的维度是 $\color{red}{数学层面}$的！
每一个维度都可以代表任意我们能想象到的事物，这里的维度完全取决与我们对每个维度的定义！

• 每个维度中的内容：数字、文字或是其他符号都可以
• 不同维度的表示： $n$维空间用 $R^n$表示，如二维空间 $R^2$、三维空间 $R^3$
• 维度的分量：向量在其中一个维度上的值成为该维度的分量，如 $R^3$空间的向量 $\vec{a}=(1,2,9)$,那么 $\vec{a}$再三个维度的分量分别是1,2,9

3,零向量和单位向量

• 零向量：长度为零的向量，与任何向量平行，可记作 $O$或 $Z$(zero), $O=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0\end{bmatrix},O\in R^3$
• 单位向量：一个非零向量除以它的模，得到单位向量， $N= \frac {a} {|a|}$

二，向量的运算

1,加减法

①加法

向量的加法很简单，将相同维度的向量依次相加就行了

简单举个例子：

$a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a+b=\begin{bmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{bmatrix}$

②减法

和加法一样简单，把相同维度的向量依次相减即可

简单举个例子：

$a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a-b=\begin{bmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{bmatrix}$

2,数乘

向量乘上一个标量就可以组成数乘的运算

简单举个例子：
$v=\begin{bmatrix}7\\9\end{bmatrix}，v\times2=\begin{bmatrix}14\\18\end{bmatrix}，v\times-6=\begin{bmatrix}-42\\-54\end{bmatrix}$

3,点积

从向量角度看， 对应点对应积的和就是点积运算，点积的结果是标量

简单举个例子：
$a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix},a\cdot b=a_1\times b_1+a_2\times b_2+a_3\times b_3=\sum_{i=1}^3 {a_ib_i}$

从几何角度看，对应的模乘夹角余弦

$a\cdot b=|a||b|cos\theta$

4,叉积

二维空间中，叉积的定义如下

$a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}$
$a\times b=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$
叉积的结果是向量

从几何角度看，叉积的模等于对应的模乘夹角正弦

$a\times b=|a||b|sin\theta$

三，行列式

1,组成

行列式是由向量组成的式子，是一种运算，结果为向量

如上面的叉积就是一个简单的二阶行列式：

$\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}$

2,性质

1. 单位矩阵的行列式为1
2. 如果 $D_n=det(A)$中某行的元素全为0，那么 $D_n=0$
3. 如果 $D_n=det(A)$中某两行元素对应成比例，那么 $D_n=0$
4. 如果 $D_n=det(A)$中某两行互换，那么互换后的行列式编号，即 $det(A)=-det(A)$
5. 倍乘性质： $det(kA_{n\times n})=k^ndet(A_{n\times n})$
6. 倍加性质： $\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1+ka_1&b_2+ka_1\end{vmatrix}$
7. 单行(列)可拆(加)性: $\begin{vmatrix}*\\a_1&a_2&a_3\\* \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}*\\b_1&b_2&b_3\\* \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*\\a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\\* \end{vmatrix}$
8. 两个矩阵相乘的行列式，等于这两个矩阵的行列式相乘： $det(A^2)=(det(A))^2$

3，意义

线性代数研究向量之间的关系，最重要的关系就是独立或不独立，行列式等于0即向量独立，即对应方程组有唯一解

4，计算

上（下）三角矩阵的行列式等于主对角元素的乘积

计算原则：利用行列式的性质化简成上（下）三角矩阵的样子，然后计算乘积

通过公式：
$det(A)=\sum_{n!}\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdot \cdot \cdot a_{n\omega}$

四，代数余子式

代数余子式优点像俄罗斯套娃，可以把行列式的阶数一直打开到只剩一阶（一个数）

什么是代数余子式，举个例子：
三阶行列式的计算公式如下
$det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

1，代数余子式公式：

$det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdot \cdot \cdot +a_{1n}C_{1n}=\sum_{i=1}^{n}a_{1i}C_{1i}$

$C_{xy}$就是 $a_{xy}$的代数余子式，若 $x+y$为奇数， $a_{xy}$为负数

五，结束语：以上内容如有错误或不妥欢迎指出，谢谢！

小白学识有限，难免无不妥之处，欢迎批评指正！