行列式翻转证明

看题目：

解答这题你需要知道行列式的两个性质：
1.对换行列式的两行（列），行列式变号。
2.行列式与它的转置行列式相等。
$(1)先证D_1和D的关系：$
$D_1是由D上下翻转得到，因此D_1的最后一行是D的第一行，把它依次与前面的行交换，直到交换到第1行，共进行(n-1)次交换；$
$这时D_1的最后一行是D的第二行，把它与前面的行交换，直到交换到第2行，共进行(n-2)次交换；$
$直到D_1最后一行是D的第(n-1)行，再通过一次交换将它换到第(n-1)行，这样就把D_1变成了D，共进行$
$(n-1)+(n-2)+\dots+1=\frac{n(n-1)}{2}$
次交换，故 $D_1=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}D$
$(2)再看D_2:$
$观察可知，D_2的第1，2，\dots,n行依次是D的第n,n-1,\dots,1列，$ $因此如果把D_2上下翻转得\overline{D}，$ $则\overline{D}的第n,n-1,\dots,1行依次是D的第n,n-1,\dots,1列，$ $即\overline{D}=D^T.于是由(1)有$ $D_2=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\overline{D} =(-1)^\frac{n(n-1)}{2}D^T=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}D$
$(3)最后看D_3:$
$观察可知，若把D_3逆时针旋转90°得到\overline{D_3}，$ $则\overline{D_3}的第1,2,\dots,n列恰好是D的第n,n-1,\dots,1列，于是再把\overline{D_3}左右翻转就可以得到D.$ $由(1)(2)有$
$D_3=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\overline{D_3}=D$