01分数规划问题：所谓的01分数规划问题就是指这样的一类问题，给定两个数组，a[i]表示选取i的收益，b[i]表示选取i的代价。如果选取i，定义x[i]=1否则x[i]=0。每一个物品只有选或者不选两种方案，求一个选择方案使得R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])取得最值，（sigma为累加符号），即所有选择物品的总收益/总代价的值最大或是最小。
01分数规划问题主要包含一般的01分数规划、最优比率生成树问题、最优比率环问题等。我们将会对这三个问题进行讨论。
我们的目标是使R取到最值，本文主要讨论取到最大值的情况。
我们先定义一个函数F(L) = sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])，显然这只是对目标式的一个简单的变形。分离参数，得到
F(L) = sigma((a[i]-L*b[i])*x[i])。这时我们就会发现，如果L已知的话，a[i]-L*b[i]就是已知的，当然x[i]是未知的。记d[i]=a[i]-L*b[i]，那么F(L) = sigma(d[i]*x[i])。这个函数，它与目标式的关系非常的密切，L就是目标式中的R，最大化R也就是最大化L。
F的值是由两个变量共同决定的，即方案X和参数L。对于一个确定的参数L来说，方案的不同会导致对应的F值的不同。
假设我们已知在存在一个方案X使得F(L) > 0
F(L) = sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i]) > 0即sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i]) > L也就是说，如果一个方案使得F(L)>0说明了这组方案可以得到一个比现在的L更优的一个L，既然有一个更优的解，那么为什么不用呢？
显然，d数组是随着L的增大而单调减的。也就是说，存在一个临界的L使得不存在一种方案，能够使F(L)>0. 我们猜想，这个时候的L就是我们要求的最优解。之后更大的L值则会造成无论任何一种方案，都会使F(L)<0.类似于上面的那个变形，我们知道，F(L)<0是没有意义的，因为这时候的L是不能够被取得的。当F(L) = 0 时，对应方案的R值恰好等于此时的L值。
综上，函数F(L)有这样的一个性质：在前一段L中可以找到一组对应的X使得F(L)>0，这就提供了一种证据，即有一个比现在的L更优的解，而在某个L值使，存在一组解使得F(L)=0,且其他的F(L)<0，这时的L无法继续增大，即这个L就是我们期望的最优解，之后的L会使得无论哪种方案都会造成F(L)<0.而我们已经知道，F(L)<0是没有任何意义的，因为此时的L值根本取不到。
2018年东北农业大学春季校赛
I-why的物品
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const double inf = 1e-6;
double a[100010];
double b[100010];
double f[100010];
int binary(double x,int n,int k)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
f[i] = b[i]-x*a[i];
}
sort(f, f+n);
double ans = 0;
for(int i = n-1; i > n-1-k; i--)
ans += f[i];
if(ans >= 0)
return 1;
return 0;
}
int main()
{
int t;
cin >> t;
while(t--)
{
int n, k ;
cin >> n >> k;
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(b, 0, sizeof(b));
memset(f, 0, sizeof(f));
double maxx = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%lf%lf", &a[i], &b[i]);
maxx = max(maxx,b[i]/a[i]);
}
double l = 0;
double r = maxx;
while(r-l > inf)
{
double mid = (r+l)/2;
if(binary(mid,n,k))
l = mid;
else
r = mid;
}
printf("%.2lf\n",r);
}
return 0;
}