【NewCoder】城市网络 | 树上倍增

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/13331
来源：牛客网

城市网络

时间限制：C/C++ 2秒，其他语言4秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K
64bit IO Format: %lld

题目描述

有一个树状的城市网络（即 n 个城市由 n-1 条道路连接的连通图），首都为 1 号城市，每个城市售卖价值为 a_i 的珠宝。
你是一个珠宝商，现在安排有 q 次行程，每次行程为从 u 号城市前往 v 号城市（走最短路径），保证 v 在 u 前往首都的最短路径上。在每次行程开始时，你手上有价值为 c 的珠宝（每次行程可能不同），并且每经过一个城市时（包括 u 和 v ），假如那个城市中售卖的珠宝比你现在手上的每一种珠宝都要优秀（价值更高，即严格大于），那么你就会选择购入。
现在你想要对每一次行程，求出会进行多少次购买事件。

输入描述:

第一行，两个正整数 n , q (2 ≤ n ≤ 10^5 , 1 ≤ q ≤ 10^5)。
第二行，n 个正整数 a_i (1 ≤ a_i ≤ 10^5) 描述每个城市售卖的珠宝的价值。
接下来 n-1 行，每行描述一条道路 x , y (1 ≤ x,y ≤ n)，表示有一条连接 x 和 y 的道路。
接下来 q 行，每行描述一次行程 u , v , c (1 ≤ u,v ≤ n , 1 ≤ c ≤ 10^5)。

输出描述:

对于每次行程输出一行，为所购买次数。

示例1

输入

复制5 4 3 5 1 2 4 1 2 1 3 2 4 3 5 4 2 1 4 2 2 4 2 3 5 1 5

输出

复制2 1 1 0

题目思路：

看了一眼是完全没有思路的

但是如果了解倍增写法的单调栈，这个题就好写多了

设f[i][k]为，第2^k方个大于i的数的下标，很明显f数组是单调的

因为保证v是u的祖先，所以我们可以根据倍增的写法去完成这道题。

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如果deep[f[i][k]] >= deep[v] 那么在v下面，还可以继续跳。

一直到最后就会无限逼近，最后一个在v下面的并且满足题意的点。

这里说一下如何处理f数组。

只要f[i][0]确定，那么f[i][1] = f[f[i][0][0] 所以状态转移方程f[i][k] = f[f[i][k-1][k-1]

所以关键状态在于f[i][0]

f[i][0] 怎么求呢？

如果val[fa] > val[u] 那么f[u][0] = fa

如果val[fa] <= val[u] ，那么f[fa]的第二维就是一个递增性质的

我们可以通过倍增去寻找如果val[f[x][k]] <= val[u] 并且f[i][k]存在的话， x = f[x][k]

最后类似于lca的方式一样，满足条件的点必然是f[x][0] (倍增在于无限逼近该点的下方)

Code:

/*** keep hungry and calm CoolGuang!***/
//#include <bits/stdc++.h>
#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<iostream>
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const ll INF=1e18;
const int maxn=1e5+6;
const int mod=100000000;
const double eps=1e-15;
inline bool read(ll &num)
{char in;bool IsN=false;
    in=getchar();if(in==EOF) return false;while(in!='-'&&(in<'0'||in>'9')) in=getchar();if(in=='-'){ IsN=true;num=0;}else num=in-'0';while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9'){num*=10,num+=in-'0';}if(IsN) num=-num;return true;}
ll n,m,p;
ll num[maxn];
vector<int>v[maxn];
int f[maxn][20];
int deep[maxn];
void dfs(int u,int fa){
    deep[u] = deep[fa] + 1;
    if(num[fa] > num[u]) f[u][0] = fa;
    else{
        int p = fa;
        for(int i=19;i>=0;i--){
            if(f[p][i]&&num[f[p][i]]<=num[u])
                p = f[p][i];
        }
        f[u][0] = f[p][0];
    }
    for(int i=1;i<=19;i++)
        f[u][i] = f[f[u][i-1]][i-1];
    for(int e:v[u]){
        if(e == fa) continue;
        dfs(e,u);
    }
}
int main(){
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(num[i]);
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        v[x].push_back(y);
        v[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        ll ans = 1;
        int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        if(num[x]>w) p = x;
        else{
            for(int i=19;i>=0;i--){
                if(f[x][i]&&num[f[x][i]]<=w) x = f[x][i];
            }
            x = f[x][0];
        }
        if(!x) printf("0\n");
        else{
           // debug(x);
            if(deep[x]>=deep[y]){
                for(int i=19;i>=0;i--){
                    if(f[x][i]&&deep[f[x][i]]>=deep[y]){
                        x = f[x][i];
                        ans += 1ll<<i;
                    }
                }
                printf("%lld\n",ans);
            }
            else printf("0\n");
        }
    }
    return 0;
}
/**
3
011
100
111
**/