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倍增比起树链剖分，代码短，容易查错，时空复杂度也优很多（nlogn），只是功能有些欠缺。
倍增的思想是二进制。
首先开一个n×logn的数组，比如f[n][logn],其中fa[i][j]表示i节点的第2^j个父亲是谁。
然后，我们会发现有这么一个性质：
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]
用文字叙述为：i的第2^j个父亲 是i的第2^(j-1)个父亲的第2^(j-1)个父亲。
这是不是很神奇？这样，本来我们求i的第k个父亲的复杂度是O(k)，现在复杂度变成了O(logk)。
我们知道，一个数的二进制形式中，如果右边数第i位上是1，表示这个数如果分解为若干个2的次幂的和的形式，其中有一项一定是2^(i-1)。举个例子：10的二进制表示为1010，它的第2位和第4位上是1，所以10=2^1+2^3。
下面是求i的第k个父亲的代码段：
int father(int i,int k)
{
for(int x=0;x<=int(log2(k));x++)
if((1<<x)&k) //(1<<x)&k可以判断k的二进制表示中，第(x-1)位上是否为1
i=fa[i][x]; //把i往上提
return i;
}
这样讲应该很容易理解吧？
我们可以通过一次dfs处理出fa数组：（dep[i]表示i的深度，这个可以一起处理出来，以后要用）
如果待处理的树有n个节点，那么最多有一个节点会有2^(logn)个父亲，所以我们的fa数组第二维开logn就够了。
这里用max0表示logn。初始化fa为0，若fa[i][j]=0表示i没有第2^j个父亲。
void dfs(int u) {
for(int i = 0; i < m; i++)
if(f[u][i - 1])
f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];
for(int i = 0;i < v[u].size(); i++)
{
int to =v[u][i];
if(to != f[u][0]) {
f[to][0] = u;
dep[to] = dep[u] + 1;
dfs(to);
}
}
}
这样，我们在nlogn的时间内可以通过一遍dfs处理出这棵树的相关信息。然后就可以在logn的时间内完成一些操作。
倍增的应用中，最基础的应该就是求LCA(最近公共祖先)，时间复杂度是logn。
对于求u、v的LCA，我们可以先把u、v用倍增法把深度大的提到和另一个深度相同。如果此时u、v已经相等了，表示原来u、v就在一条树链上，直接返回此时的结果。
如果此时u、v深度相同但不等，则证明他们的lca在更“浅”的地方，此时需要把u、v一起用倍增法上提到他们的父亲相等。为啥是提到父亲相等呢？因为倍增法是一次上提很多，所以有可能提“过”了，如果是判断他们本身作为循环终止条件，就无法判断是否提得过多了，所以要判断他们父亲是否相等。不懂的可以详见代码：
int LCA(int x, int y) {
if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
int cnt = dep[x] - dep[y];
for(int i = 0; i < m; i++)
if((1 << i) & cnt)
x = f[x][i];
if(x == y) return x;
for(int i = m; i >= 0; i--) {
if(f[x][i] != f[y][i]) {
x = f[x][i];
y = f[y][i];
}
}
return f[x][0];
}
倍增还可以有很多变化，这让倍增法可以优更多的变化。比如用data[i][j]记录i到他的第2^j个父亲的路径长度，就可以边求LCA边求出两点距离，因为data[i][j]满足倍增的递推式：data[i][j]=data[i][j-1]+data[fa[i][j-1]][j-1]。或者用maxlen[i][j]记录i到第2^j个父亲的路径上最长边的边权，它满足maxlen[i][j]=max{maxlen[i][j-1],maxlen[fa[i][j-1]][j-1]}，这样就可以快速求出两点路径上最长边的边权……
总之，倍增是一种较为基础的处理树的方式，一定要熟练掌握，可以打几个模板题先做做，然后找一些经典的倍增习题。