The Euler function 线性筛法求欧拉函数

题目：

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题目大意就是随意输入两个数 a,b;输出a到b之间的每个数的欧拉函数之和；

思路：

题目中最大的数是3000000，我们可以先把1~3000000对应的每个数的欧拉函数求解出来。

然后再用一个前缀和数组求出1~3000000对应的欧拉函数之和。

但问题的关键是怎么求出每个数对应的欧拉函数。我们可以用线性筛法。

由欧拉函数公式 phi[n]=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)....

我们先找出来一个质数p，然后对于它的的每一个倍数的数组乘（1-1/p）。

结合下面的代码就很容易理解了。

代码：

正确的AC代码，用普通的线性筛。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define ll long long
ll sum[3000005];
void work(int n) {    //为了节省空间，刚开始sum数组表示每个数对应的欧拉函数
    sum[1] = 1;       //1的欧拉函数是1；
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!sum[i]) {  //如果sum[i]还没有背赋值过，就表明i是一个质数
            for (int j = i; j <= n; j+=i) {  //phi[x]=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)....
                if (!sum[j])sum[j] = j;   //相当于给phi[x]赋初值x
                sum[j] = sum[j] / i * (i - 1); //乘上(1-1/p)
            }
        }
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {  //这里的sum变成了前缀和
        sum[i] += sum[i - 1];
    }
}
int main() {
    int a, b;
    work(3000000);
    while (~scanf("%d%d", &a, &b)) {
        printf("%lld\n", sum[b] - sum[a - 1]);
    }
    return 0;
}

很高级但不能通过的代码，伤心。

其实还有一种用欧拉筛求欧拉函数。他能比普通的线性筛更快，但是他需要更多的内存。

这一题需要开3个3000000大的数组，然后就爆空间了，别问我怎么知道的。。。。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
int prime[3000010];
int primes[3000010];
int primenum = 0;
ll sum[3000010];
void makeprime(int n) {
    prime[0] = prime[1] = 1;
    sum[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!prime[i]) {
            primes[primenum++] = i;
            sum[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; i * primes[j] <= n; j++) {
            prime[i * primes[j]] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) {
                sum[i * primes[j]] = primes[j] * sum[i];
                break;
            }
            sum[i * primes[j]] = (primes[j] - 1) * sum[i];
        }
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        sum[i] += sum[i - 1];
    }
}
int main() {
    int a, b;
    makeprime(3000000);
    while (~scanf("%d%d", &a, &b)) {
        printf("%lld\n", sum[b] - sum[a - 1]);
    }
    return 0;
}

番外篇（线性筛真是个好东西）

用来筛质数：

这个就不提了，因为平时也不用，可以用更高效的代码替代。

用来求约数和（包括本身）：

void work(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j+=i)p[j] += i;
    }
}

用来求约数和（不包括本身）：

void work(int n) {
    for (int i = 1; i <= n/2; i++) {
        for (int j = i*2; j <= n; j+=i)p[j] += i;
    }
}

用来求欧拉函数：

就如上所示了。哈哈，偷个懒。