Eratosthenes筛法和Euler筛法

写在前面

前段时间一直在准备期末考试，很长时间没有打理自己的博客，还好从这周开始，就是三周的小学期，时间还算富裕，争取找到之前的节奏，继续坚持下去！

这两种素数的筛选方法，第一种方法在之前的博客中使用过，但是只是顺便的提了一下，这里加了一个Euler筛选法，相对于Eratosthenes筛选法，时间复杂度更低一些

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主要的参考文献：《线性筛法与积性函数》贾志鹏

Eratosthenes筛法

Eratosthenes筛选法用到的主要思想：当一个素数被发现时，那么是这个素数倍数的数一定不再是素数，运用这个思路就可以得到时间复杂度为O(N log(log(N)))的算法

void Prim(int n)
{
    //Eratosthenes筛选法
    memset(check,false,sizeof(check));
    int tot = 0;
    for(int i = 2;i  <= n;i ++)
        if(!check[i])
        {
            prim[tot++] = i;
            for(int j = 2*i;j <= n;j += i)
                check[j] = true;
        }
}

Euler筛法

上面的Eratosthenes筛选法，我们发现一个非素数可能会有很多次被判断，比如12，可以有2*6排除，3*4排除

那么我们为了去除这种重复，我们规定，只能使用一个数的最小质因数来排除这个数字，那么12就只能由2*6排除，24只能由2*12排除掉

那么我们怎么实现上面的要求呢？先看程序，后面解释这个内容

void Euler_prim(int n)
{
    //欧拉筛选法     避免上面筛选法中的重复筛选
    memset(check,false,sizeof(check));
    int tot = 0;
    for(int i = 2;i <= n;i ++)
    {
        if(!check[i]) prim[tot ++] = i;
        for(int j = 0;j < tot;j ++)    //遍历已经找到的素数
        {
            if(i * prim[j] > n) break;   //后面相乘已经超出 n 的范围，没有查找的必要了
            check[i * prim[j]] = true;    //表示这个数字不是素数
            if(i % prim[j] == 0) break;   
        }
    }
}

上面的if(i % prim[j] == 0 ) break;   是完成上面要求的重要条件

我们首先知道一个合数一定可以表示成素数的乘积，那么也一定可以表示成他的最小质因数乘以另外一个数，已知prim数组中的素数是依次递增的，当i满足i%prim[j] ==  0的时候，假如我们继续执行，那么下一个要判断为不是质数的数为：prim[j+1]*i   ，但是我们发现这个数的最小质因数一定是prim[j] ，因为这里的i满足i%prim[j] == 0 ，prim[j]是他的最小质因数，所以这里就和我们上面的要求有矛盾，当我们遇到后面x满足：prim[j] * x = prim[j+1]*i时，又会重新判断一次这个数字

也就是说：当我们遇到上面这个条件就要break  ，时间复杂度变为O(N)

写在后面

这个算法真的是理解了很长的时间，当然上面的理解是我个人的理解，如果有理解不当的地方，欢迎大家在评论区留言评论。