线性筛法（欧拉筛法）

昨天和学长（没错就是这位神秘的学长）探讨了一道判断素数的题目，今天把这道题目的总结和心得写一下。
首先,特别要感谢提供资料的（和蔼可亲的）Tan Sir.

（记得和同学探讨快速幂实现问题的时候，我写了个O（n）的判断素数，当时顺便提了一下有更简单的算法，刚好遇到类似的题目拿出来写一下）
先介绍一下普通的筛法求素数。

普通筛法

原理：素数的倍数一定不是素数。
我们可以用一个长度为n+1的数组来存储信息（这种用另一个数组来保存信息的方法很常见也很有用），首先将所有的数字全初始化为0（素数），再将数字1与第一个素数2标记为1（非素数）从素数2开始将所有小于n的2的倍数都标记为1；继续该过程，将素数3的倍数筛掉，到循环结束时，标记仍为0的数就是素数。

代码如下：

//primer用来保存得到的素数
memset(check , 0 , sizeof(check) );
check[1] = 1;
int sum = 0,i,j;
for(i = 2;i <= n; i++)
{
	if(!check[i])
		primer[sum++] = i;
	for(j = i+1;j <= n;j += i)
		check[i] = 1;
}

这个算法的时间复杂度已经优化到O(nloglogn)，但是仔细观察我们会发现，有些非素数会被我们筛去多次，比如6 会被素数2筛去一次又会被素数3筛去一次。
这时候更好的欧拉筛法就来了。

欧拉筛法

欧拉筛法保证了一个合数只会被他最小的质数因子筛去一次。
（忽然想起来开学不久和肖xx讨论过这个筛法，这里就用当时聊天时的原话吧）
先给出代码

check[1] = 1;
int sum = 0,i,j;
for(i = 2;i <= n; i++)
{
	if(!check[i])
		primer[sum++] = i;
	for(j = i+1;j < sum;j ++)/*  1  */
		{
				if(i*primer[j] > n)
					break;
				check[i*primer[j]] = 1;
				if(i % primer[j] == 0)/*   2  */
					break;
		}
}

关键在于我在代码块中给出的两个注释。
因为任意一个合数都可以写成几个质数之积，也就是说任意一个合数都会有一个最小质因子。
所以当i可以整除primer[j]时，iprimer[j+1]一定已经被筛过了！（原因是i = primer[j] * x ，所以 iprimer[j+1]所筛去的数一定会被primer[j]筛去）

好了，说了这么多，是时候进入正题了！！
上题！
在这里插入图片描述
思路：
1.用线性筛法求出N范围内的素数保存在primer中（友情提示：大数组最好放在main函数之外定义，其他的题最好也是这样。为什么？百度“栈帧”，你就知道）
2.对这M组数据，用二分查找对比primer。

给出AC代码：

#include <stdio.h>
int n,w, primer[1000010],tot,s,i;
int check[100000010];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&w);
    for(i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(check[i] == 0) primer[++tot] = i;
        for(int j = 1; (j <= tot) && (i*primer[j] <= n); j++)
        {
            check[i * primer[j]] = 1;
            if(i % primer[j] == 0) break;
        }
    }
    while(w--)
    {
        scanf("%d",&s);
        i = 1;
        int j = tot, mid;
        while(i <= j)
        {
            mid = (i + j) / 2;
            if(s == primer[mid])
            {
                printf("Yes\n");
                break;
            }
            else if(s < primer[mid]) j = mid - 1;
            else i = mid + 1;
        }
        if(s != primer[mid]) printf("No\n");
    }
    return 0;
}

关于二分查找捏，下次遇见排序的题目是再提喽。
文中有错误或者不妥之处，还望各位大佬指正。