OpenJudge 百练4119 复杂的整数划分问题

描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)

输出

对于每组测试数据，输出以下三行数据:
第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

样例输入

5 2

样例输出

2
3
3

提示

第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

题解：

这题有三个任务，我们分别来看。

task1:N划分成K个正整数之和的划分数目

用 $dp[i][j]$表示将数字i划分成j个正整数之和的划分数目
再考虑转移
第一种 $dp[i][j]$ += $dp[i - 1][j - 1]$, 相当于在原来的后面增加一个“1”
此时，被划分的数值加1，划分成的正整数个数也加1
第二种 $dp[i][j]$ += $dp[i - j][j[$,相当于将原来的j个数全部加上1
这样的操作可以满足前面的数必定大于等于后面的数
边界 $dp[0][0]$ = 1

task2:N划分成若干个不同正整数之和的划分数目

这是一个01背包问题
相当于有一个容积为N的背包，用N个物品体积为（1 ~ N），每个物品只能放一次（要求不同正整数）求刚好装满的方案数。
按照01背包 $dp[i][j]$表示前i个物品，达到总体积为j的方案数
考虑状态转移
$dp[i][j]$ += $dp[i - 1][j]$ 不选第i个物品
$dp[i][j]$ += $dp[i - 1][j - w[i]]$ 选第i个物品(其中 $w[i]$ = i)
$w[i]$表示第i个物品的体积
边界 $dp[0][0]$ = 1;

task3:N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

这与第一个任务类似
用 $dp[i][j]$表示将数字i划分成j个奇正整数之和的划分数目
再考虑转移
第一种 $dp[i][j]$ += $dp[i - 1][j - 1]$, 相当于在原来的后面增加一个“1”
第二种 $dp[i][j]$ += $dp[i - 2 * j][j[$,相当于将原来的j个数全部加上2，保证所有j个正整数都是奇数11
这样的操作可以满足前面的数必定大于等于后面的数
边界 $dp[0][0]$ = 1
最终将所有的 $dp[n][m]$( 1 <= m <= n)相加，就是答案

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int dp[100][100];
int task1(int n, int k){
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	dp[0][0] = 1;
	int i, j;
	for(i = 1; i <= n; i++)
		for(j = 1; j <= k; j++){
			dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
			if(i >= j) dp[i][j] += dp[i - j][j];                                                          	}
	return dp[n][k];
}
int task2(int n){
	int i, j;
	memset(dp, 0, sizeof(dp)); 
	dp[0][0] = 1;
	for(i = 1; i <= n; i++){
		for(j = 0; j <= n; j++){
			dp[i][j] += dp[i - 1][j];
			if(j >= i) dp[i][j] += dp[i - 1][j - i];
		}
	}
	return dp[n][n];
}
int task3(int n){
	int i, j;
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	dp[0][0] = 1;
	for(i = 1; i <= n; i++){
		for(j = 1; j <= n; j++){
			dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
			if(i >= 2 * j) dp[i][j] += dp[i - 2 * j][j];
		}
	}
	int ans = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++)
		ans += dp[n][i];
	return ans;
}
int main(){
	int n, k;
	while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2){
		printf("%d\n", task1(n, k));
		printf("%d\n", task2(n));
		printf("%d\n", task3(n));
	}
	return 0;
}