百练-集合的划分

描述

把一个集A(本题中的集合均不含重复元素)分成若干个非空子集，使得A中每个元素属于且仅属于一个子集，那么这些子集构成的集合称为A的一个划分。比如A={1，2，3}，那么{ {1}，{2 ，3} }以及{ {1}，{2}，{3} } 都是A的划分。现在给定一个整数n，我们希望知道包含n个元素的集合有多少不同的划分。当n=3的时候，仍然考虑集合{1，2，3}，它的所有划分如下

{ {1} ， {2} ， {3} }
{ {1 ， 2} ， {3} }
{ {1 ， 3} ， {2} }
{ {1} ， {2 ， 3} } 
{ {1 ， 2 ， 3} }
只有5种，但随n的增加，划分方法的个数会以指数速度增加。比如n=4的时候，就有15种方法，考虑集合{1，2，3，4}，划分方式如下
{ {1}，{2}，{3}，{4}}
{{1}，{2}，{3，4}}
{{1，2}，{3}，{4}}
{{1，3}，{2}，{4}}
{{1，4}，{2}，{3}}
{{1}，{2，3}，{4}}
{{1}，{3}，{2，4}}
{{1，2}，{3，4}}
{{1，3}，{2，4}}
{{1，4}，{2，3}}
{{1}，{2，3，4}}
{{2}，{1，3，4}}
{{3}，{1，2，4}}
{{4}，{1，2，3}}
{{1，2，3，4}}
当n>15的时候，划分方法数将超过32位整数所能表示的范围，我们希望你的程序能计算出n<=15的时候，包含n个元素的集合的划分方法的个数输入一个整数n（0<=n<=15，n=0的时候认为有一种划分方法）输出包含n个不同元素的集合的划分方法的个数
样例输入

3
15

样例输出

5
1382958545

提示

递归公式,

设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
F(n,m) = 1, where n=0, n=m, n=1, or m=1
F(n,m) = 0, where n<m
否则
F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)

例如:
考虑3个元素的集合，可划分为
① 1个子集的集合：{{1，2，3}}
② 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}
③ 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}
∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;

如果要求F(4,2)该怎么办呢？

A.往①里添一个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}

B.往②里的任意一个子集添一个4，得到
{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，
{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}

∴F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)＝1+2*3＝7

解题思路：

递归。上面已经说得很清楚了F(n,m)=F(n-1,m-1)+F(n-1,m)*m

注意当n=0时需另外讨论。

#include<stdio.h>

int F(int n,int m)//n个元素，m个子集合
{
   if(n<m)
	   return 0;
   else
   {
      if(n==0||n==m||n==1||m==1)
		  return 1;
	  else
		  return F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m);
   }
}
int main()
{
	int n;
	int cnt=0;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
      if(n==0)//n=0时单独讨论
	  {
	     printf("1\n");
		 continue;
	  }
	  cnt=0;
	  int i;
	  for(i=1;i<=n;i++)
		  cnt+=F(n,i);

	  printf("%d\n",cnt);
	}
  return 0;
}