二分图博弈(通俗感性证明)

一道很友好有趣的例题loj

第一次见识到这个东西,觉得非常巧妙

$一张二分图,左边的叫白点,右边的叫黑点$

$先手先从白点中选一点,然后后手必须选与之配对的黑点$

$以此往复,谁先不能选点谁就输了$

$首先我们先使用网络流求一遍二分图最大匹配$

$\color{Red}结论Ⅰ:若先手走的第一步不在最大匹配中,先手必胜$

$为了和先手走的后手走的白点对应,后手走的黑点一定在最大匹配$

$原因:若不在最大匹配,就形成了新匹配,不满足最大匹配$

$接下来每一步,先手只需要选与后手相匹配的白点即可$

$那么后手被动的选最大匹配中的黑点$

$由于后手先走最大匹配中的点,所以最后一定是后手先无路可走,先手胜$

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你可能有疑问,为什么后手不能走非最大匹配中的黑点来和白点匹配呢?

$原因在于,如果有非最大匹配的黑点来匹配那个白点就矛盾了$

$因为形成了一条新的增广路,最大匹配更多了$

$回想一下匈牙利算法dfs找妹子腾空间的找增广路流程$

$如果这里找到没有和白点配对的黑点$

$那么就为最开始那个先手选的没有在最大匹配中的白点找到了位置$

$\color{Red}证毕$

$\color{Red}结论Ⅱ:若最开始先手走的点在所有的最大匹配中都存在,必输$

$这个很简单,相当于结论Ⅰ的逆否命题$

问题来了,如何判断这个点一定在所有的最大匹配中

$\color{orange}法一:$

$把这个点和相邻的边从图中删掉,再次求最大匹配,若匹配数减少一定在$

但是这个做法不是那么的优秀,考虑优化

$\color{Green}法二:$

$在所有的最大匹配中都出现过$

$也就是所有的最大流s到这个点的边都有流量$

$相当于在某个最大流方案中,s到这个点的边有流量,且残量网络不存在s到i的路径$

$那么求最大流的最后一次bfs中(无增广路,必定到不了t),s能到的点都会被标记起来$

$判断下即可$