题目：486. 预测赢家
给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家 1 从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家 2 继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家 1 拿，…… 。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。
给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。
示例 1：
输入：[1, 5, 2]
输出：False
解释：一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 False 。
示例 2：
输入：[1, 5, 233, 7]
输出：True
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。
最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家 1 可以成为赢家。
提示：
- 1 <= 给定的数组长度 <= 20.
- 数组里所有分数都为非负数且不会大于 10000000 。
- 如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家 1 仍为赢家。
来源：力扣（LeetCode）
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基本思想：记忆化递归（自上而下）
本题刚开始理解错了，并不是说，只要有一种可能能让玩家1赢，就返回true。要知道，两个玩家都想赢，所以在两个玩家进行选择的时候，会选择，能让自己能赢的能够获得的最大的分数。
- 递归的思想：每一个玩家都选择他能超越对方的最大的分数，用递归过程计算玩家1能够超越玩家2多少分，如果该值是非负的说明玩家1能够获胜
class Solution {
public:
vector<vector<int>> dp;
bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
dp = vector<vector<int>>(nums.size(), vector<int>(nums.size(), INT_MIN));
return fun(nums, 0, nums.size() - 1) >= 0;
}
int fun(vector<int>& nums, int i, int j){
if(dp[i][j] != INT_MIN)
return dp[i][j];
if(i == j){
dp[i][j] = nums[i];
return dp[i][j];
}
//选择左面
int left = nums[i] - fun(nums, i + 1, j);
//选择右面
int right = nums[j] - fun(nums, i, j - 1);
dp[i][j] = max(left, right);
return dp[i][j];//表示超越另一方的最大分数
}
};
动态规划（自下而上）
- dp[i][j]:表示数组[i : j]中玩家1超过玩家2的分数
- 状态：数组的每一个下标
- 选择：当前选择左面的元素还是选择右面的元素
class Solution {
public:
bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
vector<vector<int>> dp;
dp = vector<vector<int>>(nums.size(), vector<int>(nums.size(), INT_MIN));
for(int len = 1; len <= nums.size(); ++len){
for(int i = 0; i + len - 1 < nums.size(); ++i){
int j = i + len - 1;
if(i == j)
dp[i][j] = nums[i];
else{
dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][nums.size() - 1] >= 0;
}
};