[LeetCode] 486、预测赢家

题目描述

给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家1从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家2继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家1拿，……。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。

给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

输入: [1, 5, 233, 7]
输出: True
解释: 玩家1一开始选择1。然后玩家2必须从5和7中进行选择。无论玩家2选择了哪个，玩家1都可以选择233。
最终，玩家1（234分）比玩家2（12分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家1可以成为赢家。

解题思路

智力题终究是智力题，真正的算法问题肯定不会是投机取巧能搞定的。

• 第一想法是“贪心”：每次都拿最大的，但是这样不行，比如[1, 5, 233, 7]这个测试用例。
• 动态规划：「假设两个人都足够聪明，最后谁会获胜」这一类问题该一般可用动态规划算法解决。
  • dp[i][j]表示从nums[i]到nums[j]，假设双方都足够聪明，当拿完时，先手比另一位玩家多拿的最大分数是多少。
  • 对于dp[i][j]，如果先手拿了nums[i]，则另一位玩家比先手多dp[i+1][j]，dp[i][j] = nums[i]-dp[i+1][j]；如果先手拿了nums[j]，则另一位玩家比先手多dp[i][j-1]，dp[i][j] = nums[j]-dp[i][j-1]。综上：dp[i][j] = Math.max(nums[i]-dp[i+1][j], nums[j]-dp[i][j-1])。
  • 初始化：当i=j时，先手一定赢，比另一位玩家多dp[i][j] = nums[i]。
  • 返回值：最后返回dp[0][nums.length-1]是否大于0即可。

参考代码

class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int length = nums.size();
        if(length <= 1)
            return true;
        
        vector<vector<int> > dp(length, vector<int>(length, 0));
        for(int i = 0; i < length; i++)
            dp[i][i] = nums[i];
        for(int i = length-2; i >= 0; i--){  // dp的遍历方向，根据状态转移方程 画画图就能确定
            for(int j = i+1; j < length; j++){
                dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i+1][j], nums[j] - dp[i][j-1]);
            }
        }
        
        return dp[0][length-1] >= 0;
    }
};