基本等式
V a r ( x ) = E [ ( x − E ( x ) ) 2 ] = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) \mathrm{Var}(x)=E[(x-E(x))^2]=E(x^2)-E^2(x) Var(x)=E[(x−E(x))2]=E(x2)−E2(x)
E ( x + y ) = E ( x ) + E ( y ) E(x+y)=E(x)+E(y) E(x+y)=E(x)+E(y)
if x x x and y y y are independent, then:
E ( x y ) = E ( x ) + E ( y ) E(xy)=E(x)+E(y) E(xy)=E(x)+E(y)
V a r ( x + y ) = V a r ( x ) + V a r ( y ) \mathrm{Var}(x+y)=\mathrm{Var}(x)+\mathrm{Var}(y) Var(x+y)=Var(x)+Var(y)
if x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn are pairwise independent, then:
V a r ( x 1 + ⋯ + x n ) = V a r ( x 1 ) + ⋯ + V a r ( x n ) \mathrm{Var}(x_1+\cdots+x_n) = \mathrm{Var}(x_1)+\cdots+\mathrm{Var}(x_n) Var(x1+⋯+xn)=Var(x1)+⋯+Var(xn)
基本不等式
( 1 + x ) a ≤ e a x , x ∈ R (1+x)^a\le e^{ax},\quad x \in \mathbb R (1+x)a≤eax,x∈R
( 1 + x ) a ≥ 1 + a x , a ∈ [ 1 , + ∞ ) , x ∈ ( − 1 , + ∞ ) (1+x)^a \ge 1+ax, \quad a \in [1,+\infty),\ x\in (-1,+\infty) (1+x)a≥1+ax,a∈[1,+∞), x∈(−1,+∞) (Bernoulli)
ln ( 1 + x ) ≤ x , x ∈ ( − 1 , + ∞ ) \ln(1+x)\le x, \quad x\in (-1, +\infty) ln(1+x)≤x,x∈(−1,+∞)
ln ( 1 + x ) ≥ x − x 2 , x ∈ ( − 1 2 , + ∞ ) \ln(1+x)\ge x-x^2, \quad x\in (-\dfrac12,+\infty) ln(1+x)≥x−x2,x∈(−21,+∞)