【MATH】_01_概率论基础

 

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【一】 Sample Spaces（样本空间）

• 定义：随机试验 $E$ 的所有结果构成的集合，称为 $E$ 的样本空间，记为如下， $S$ 中的元素 $e$ 为 基本事件 或 样本点
   
  $S=\{e\}$

• 例子：一枚硬币被抛一次
   
  $S = \{ front，back \}$

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【二】 Probability Spaces（概率空间）

• 定义：三元组 $（Ω，F，P）$
   
  $Ω：样本空间，样本总数 = | Ω | = N$

$F：事件空间，一个事件由 \,0\, 到 \,N\, 个样本组成，所有事件的总数=| F |=2^N$

$P：概率分布，概率函数，样本到概率的映射（取值在 \,0\, 到\,1\,之间）$

• 概率公式
   
  $P(B-A) = P(B-AB) = P(B)-P(AB) = P(\overline { A } B)$

$P ( B \cup A ) = P(B)+P(A)-P(AB)$

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【三】 Conditional Probability（条件概率）

 
$P(B|A) = \frac { P ( A B ) } { P ( A ) } \;\;\;\; s.t\;\;P(A) \neq 0$

• 经典题目：从 52 张扑克牌（无大小王）中任意抽取 2 张，求恰是 “一红一黑” 的概率
   
  $记\,A_i=\{ 第 \,i\, 次抽到的是红牌\}，B=\{ 取出的两张为一红一黑 \}$
  $P(B) = P ( \overline { A } _ { 1 } ) \cdot P ( A _ { 2 } | \overline { A } _ { 1 } ) + P ( A _ { 1 } ) \cdot P ( \overline { A } _ { 2 } | A _ { 1 } )$
  $【有放回抽样】\;\;P(B) = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 2 }$
  $【无放回抽样】\;\;P(B) = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 26 } { 51 } + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 26 } { 51 } = \frac { 26 } { 51 }$

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【四】 Total Probability Formula（全概率公式）

 
$P ( A ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } P ( B _ { i } ) \cdot P ( A | B _ { i } )$

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【五】 Bayes Formula（贝叶斯公式）

 
$P ( B _ { i } | A ) =\frac { P ( B i ) \cdot P ( A | B i ) } { P(A)}= \frac { P ( B i ) \cdot P ( A | B i ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } P ( B _ { j } ) \cdot P ( A | B _ { j } )}$
$后验概率：\bm {P ( B _ { i } | A )} \;\;\;\;\; 先验概率：\bm {P ( B i )}\;\;\;\;\;条件概率：\bm {P ( A | B i )} \;\;\;\;\; 全概率：\bm {P(A)}$

 
 

• 经典题目：一单位有 甲 乙 两人，已知 甲 近期出差的概率为 0.8，若 甲 出差，则 乙 出差的概率为 0.2；若 甲 不出差，则 乙 出差的概率为 0.9
   
  $记\,A=\{ 甲出差 \}，B=\{ 乙出差 \}$
  $【乙出差的概率】\;\;\bm {P ( B )} = P ( A ) \cdot P ( B | A ) + P ( \overline { A } ) \cdot P ( B | \overline { A } ) = 0.8 \times 0.2 + 0.2 \times 0.9 = 0.34$
  $【已知乙出差，求甲出差的概率】\;\;\bm {P ( A | B )} = \frac { P ( B | A ) \cdot P ( A ) } { P ( B ) } = \frac { 0.8 \times 0.2 } { 0.34 } = \frac { 8 } { 17 }$

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【六】 Independence（独立性）

 
$P(AB) = P(A) \times P(B)$
 

• 经典题目【曾经做错了】：甲 乙 两人同时向一目标射击，甲 击中的概率为 0.8，乙 击中的概率为 0.7，求目标击中的概率
   
  $记\,A=\{ 甲击中 \}，B=\{ 乙击中 \}，C=\{ 目标被击中 \}$
  $\bm {P ( C )} = \bm {P ( A ) + P ( B ) - \red {P (A B)}} = 0.8 + 0.7 - 0.8 \times 0.7 = 0.94$