随机事件与概率
一、样本点&样本空间
1. 样本点：随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示。
2. 样本空间：随机试验的所有样本点的全体称为样本空间，通常用Ω表示。
样本空间实际上是所有样本点构成的集合，相应的每一样本点是该集合中的元素。
例如：扔掷一枚硬币的实验中，有两个样本点ω1=“正面”，ω2=“反面”，样本空间为 Ω = { 正面，反面 } = { ω1，ω2 }。
二、事件间的关系与运算
1. 事件的包含：如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的每一个样本点一定也属于B，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，或称A是B的子事件，记作 B⊃A 或 A⊂B。
2. 事件的相等：如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等，记作A=B。
3. 事件的并（或和）：“事件A与B至少有一个发生”这一事件称为事件A与B的并（或和），记作A∪B或A+B。
例如：在投掷一枚骰子的试验中，记A=“点数为奇数”（1，3，5），B=“点数小于五”（1，2，3，4），则A∪B = { 1，2，3，4，5 }。
4. 事件的交（或积）：“事件A和B都发生”这一事件称为事件A与B的交（或积），记作A∩B（或AB）。
例如：在上例中，A∩B = { 1，3 }。
5. 事件的差：“事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差，记作A-B。
例如：在上例中，A-B = { 5 }。
6. 互不相容事件：若事件A与B不可能同时发生，也就是说，AB是不可能事件，即AB=∅，则称事件A与B是互不相容事件。
例如：在扔掷一枚骰子的试验中，“点数小于3”和“点数大于4”这两个事件是互不相容事件。
7. 对立事件：“事件A不发生”，这一事件称为事件A的对立事件，记作非A。非A = Ω - A。
例如：在扔掷一枚骰子的试验中，记A为事件“点数为偶数”，则非A为事件“点数为奇数”。
8. 随机事件的运算律：
A∪B = B∪A
(A∪B)∪C = A∪(B∪C) = A∪B∪C
A∩B = B∩A
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) = A∩B∩C
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
三、概率的公理化定义
1. 定义：设Ω是一个样本空间，定义在Ω的事件域F上的一个实值函数P(·)称为Ω上的一个概率测度，如果它满足下列三条公里：
公里1 P(Ω) = 1；
公里2 对任意事件A，有P(A) >= 0；
公里3 对任意可数个两两不相容的事件A1,A2,…,An,…, 有P(无限个Ai事件相交) = i个P(Ai)的和，
其中，对任意给定的具体事件A，函数值P(A)称为事件A的概率。此外，一个具有概率测度P(·)的样本空间Ω称为一个概率空间，记作(Ω,P)。
2. 性质：性质1 P(∅) = 0；
性质2 A1,A2,…,An是两两不相容的，则有P(n个Ai相∪) = n个P(Ai)的和
性质3 P(非A) = 1 - P(A)
性质4 P(A-B) = P(A) - P(AB) 若A包含B，则P(A-B) = P(A) - P(B)；P(A)>=P(B)
性质5 0<=P(A)<=1
性质6 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)
四、古典概型
1. 古典概型满足的两个假设条件：
（1）随机试验只有有限个可能结果（即样本空间有限）；（2）每一个可能结果发生的可能性相同（每一个基本事件的概率相同）
2. 概率测度可表示为 P(A) = A中元素个数 / Ω中元素个数 = 使A发生的基本事件数 / 基本事件总数
五、几何概型
样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型。
例子：两艘轮船都要停靠同一泊位，他们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时，求一艘船停靠泊位时，需要等待空出码头的概率。
六、条件概率
1. 定义：给定概率空间(Ω,P)，A,B是其中的两个事件，且P(A) > 0，则称 P(B|A) = P(AB) / P(A) 为在已知事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
2. 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A), P(A) > 0. 对称地，如果P(B) > 0, P(AB) = P(B)P(A|B), P(B)>0.
3. 全概率公式：设{Ai}是一列有限或无穷个两两不相容的非零概率事件，且Ai的并集等于Ω，则对任意事件B有 P(B) = P(Ai)P(B|Ai)的和。
例：当i = 2，P(B) = P(AB)+P(非AB) = P(A)P(B|A) + P(非A)P(B|非A).
4. 贝叶斯公式：设{Ai}是有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且无穷个Ai的并集等于Ω，则对任意事件B，P(B) > 0,
有P(Ai|B) = P(AiB) / P(B) = P(Ai)P(B|Ai) / P(Aj)P(B|Aj)连加。
5. P(AB)与P(B|A)的区别：P(AB)是AB同时发生的概率，是以全体事件为100%来计算其中AB同时发生的概率。P(B|A)是在已经发生了A事件的前提下，再发生B事件的概率。是以所有发生A事件为100%来计算AB同时发生的概率。
七、事件的独立性
1. 设(Ω,P)是一个概率空间，A,B是其中的两个事件，如果 P(AB) = P(A)P(B)，则称A与B相互独立，简称A与B独立。
例：扔掷一枚骰子，事件A“点数小于5” 与 B“点数为奇数” : P(AB) = P(A)P(B) = 1/3，则A与B独立。
2. 如果n(n>=2)个事件：A1,A2,…,An中任意两个事件均相互独立，即对任意 1<= i < j <=n，均有 P(AiAj) = P(Ai)P(Aj)，则称n个事件A1,A2,...,An两两独立。
3. 设A1,A2,...,An为n(n>=2)个事件，如果对其中任何k(2<=k<=n)个事件Ai1,Ai2,...,Aik(1<=i1<i2<...<ik<=n)，均有 P(Ai1Ai2...Aik) = P(Ai1)P(Ai2)...P(Aik)，则称A1,A2,...,An相互独立。
4. 相互独立的性质：
5. 伯努利概型：
