基础概率论——随机变量、概率、期望

1 随机变量

$Ｘ$　随机变量表示取值不一定的一个值。
$X\sim p(x)$ 随机变量的概率密度函数（probability density function），他描述随机事件发生的概率。
eg：对于骰子点数朝上的概率，有
$$p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)$$

2 概率

离散随机变量 $x_i$的概率为$p_i$，概率分布的性质如下：
$$p_i\ge 0,\sum _{i=1}^n=1$$

3 期望

期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

3.1 离散情况

$$E[X]=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$$

3.2 连续情况

$$E[X]=\int xp(x)dx$$
性质如下：
$$p(x)\ge 0,\int p(x)dx=1$$

3.3 随机变量函数的期望

对于$X\sim p(x),Y=f(X)$，有期望：
$$E[Y]=E[f(X)]=\int f(x)p(x)dx$$