【Ybtoj 第1章 例题2】汉诺塔问题【递推】

题目描述

这里有 A、B、C 和 D 四座塔。
这里有 个圆盘， 的数量是恒定的。
每个圆盘的尺寸都不相同。
所有的圆盘在开始时都堆叠在塔 A 上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。
我们需要将所有的圆盘都从塔 A 转移到塔 D 上。
每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。 请你求出将所有圆盘从塔 A 移动到塔 D，所需的最小移动次数是多少。

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输入格式
没有输入。

输出格式
对于每一个整数$n（1<=n<=12$，输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

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解题思路

首先考虑3座塔的汉诺塔问题，我们设$d（n）$表示n个盘子3座塔的最优步数，我们需要先把$n-1$个盘子移到B柱上，最优步数为$d（n-1）$，然后把A柱上的剩余的一个盘子移到C柱上，步数为1，最后把B柱上的$n-1$个盘子移到C柱上，最优步数也为$d（n-1）$。固有递推式：$d(n)=2\ast d(n-1)+1$。

回到本题，设$f（n）$表示n个盘子4座塔的最优步数，考虑从A柱移动$j（0<=j<=n）$个盘子到B柱上，最优步数为$f（j）$。再将$n-j$个盘子移动到D柱上，考虑B柱上圆盘尺寸小，不能放盘子了，故变成了3塔模式，最优步数为$d（n-j）$，最后再将j个盘子移动到D柱上，最优步数为$f（j）$。考虑所有的j，固有递推式：$f（n）=min(2\ast f(j)+d(n-j),f(n)$

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代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int INF=2147483600;
int d[20],f[20];
int main(){
    
    
	d[1]=1;
	for(int i=2;i<=12;i++)
	 	d[i]=d[i-1]*2+1;
	f[1]=1;
	printf("%d\n",f[1]);
	for(int i=2;i<=12;i++)
	{
    
    
		f[i]=INF;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			f[i]=min(f[i],2*f[j]+d[i-j]);
		printf("%d\n",f[i]);
	}
}