【YbtOJ高效进阶 递推-2】奇怪汉诺塔

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YbtOJ高效进阶 递推-2

题目描述

汉诺塔问题，条件如下：

这里有 A、B、C 和 D 四座塔。
这里有 n个圆盘， n的数量是恒定的。
每个圆盘的尺寸都不相同。
所有的圆盘在开始时都堆叠在塔 A 上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。
我们需要将所有的圆盘都从塔 A 转移到塔 D 上。
每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。 请你求出将所有圆盘从塔 A 移动到塔 D，所需的最小移动次数是多少。

输出

对于每一个整数n($1\le n\le 12$) ，输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

思路

我们先考虑三座塔的情况
肯定是先把$n-1$个盘子放到B塔，然后把最后这个放到C塔，然后再把B塔的这$n-1$个盘子放到C塔
所以很容易得到
$$a_i=2\ast a_{i-1}+1$$
那再来看回原题
四个塔，那我们是否可以视为是独立一座塔和三座塔的处理呢？
我们枚举一个$j$，表示$j$个盘子放去B塔，然后剩下的再去放，最后再把这$j$个盘子放到D塔
那很显然，我们用$f_i$表示i个盘子的最少步数
则
$$f_i=\underset{1\le j\le i}{\min }(2\ast f_j+a_{i-j})$$

代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

int a[15], f[15];

int main() {
    
    
    a[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 12; ++i) a[i] = 2 * a[i - 1] + 1;
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[1] = 1;
    for (int i = 1; i <= 12; ++i) {
    
    
        for (int j = 0; j <= i; ++j) f[i] = min(2 * f[j] + a[i - j], f[i]);
        printf("%d\n", f[i]);
    }
}