【YbtOJ高效进阶 递推-1】错排问题

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$YbtOJ递推例题1$

题目描述

求一个有n个数的排列A,使得A[i]不等于i

样例输入

3

样例输出

2

思路

用$f_n$表示有$n$个数的错排个数
则很容易得到$f_1=0$,$f_2=1$
第n个数字可以放在前面$n-1$个位置
那么第$n$个数字放在第$k$位
我们就来考虑一下这个数字的放置情况
1.这个数字放在第n位
则为剩下的$n-2$的数字的错排，即$f_{n-2}$
2.这个数字不放在第n位
则为$n-1$个数字的错排，即$f_{n-1}$
那么很显然的$f_n=(n-1)(f_{n-1}+f_{n-2})(n\ge 3)$

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

ll f[5005], n;

int main()
{
    
    
	scanf("%lld", &n);
	f[1] = 0;
	f[2] = 1;
	for(int i = 3; i <= n; ++i)
		f[i] = (i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2]);
	printf("%lld", f[n]);
}