夜深人静写算法（九）- 哈希表

一、前言

  谈起哈希表，学过数据结构的同学，应该都已经耳熟能详了，因为太基础所以一直没有单独拿出来讲，然而 广度优先搜索 和 动态规划 里面都涉及到了状态哈希，所以还是有必要拿出来讲一下的。所谓的 状态 到底是一个什么概念，为什么要对状态进行 哈希。希望读者看完本章内容，能够有一个大概的概念，能对后续要讲到的 广度优先搜索 以及 状态压缩动态规划 起到一定的铺垫作用。
  虽然，我曾经一度认为自己对哈希表的理解已经很透彻了，但是今天我在总结这篇文章的时候，突然领悟了几个之前比较模糊的概念，而且就在那一瞬间，犹如醍醐灌顶，茅塞顿开，这种感觉实在是太棒了！

二、哈希表

1、哈希表概念

• 哈希表（Hash table）的初衷是为了将关键字值 (key - value) 映射到数组中的某个位置，这样就能够通过数组下标访问该数据，省去了遍历整个数据结构的过程，从而提高了数据的查找速度，查找的平均期望时间复杂度是 $O(1)$ 的。
• redis 中的键值对、python 中的 dict 、lua 中的 table、C++ STL 中的 unordered_map 等等，底层都是采用哈希表来实现的，可见哈希表在实际应用中还是很广泛的。
• 首先，介绍几个概念来对哈希表有一个初步的认识。

1）哈希数组

• 为了方便下标索引，哈希表的底层实现结构是一个数组，数组类型可以是任意类型，每个位置被称为一个槽（slot）。如图二-1-1所示，它代表的是一个长度为 8 的哈希数组。

图二-1-1

2）关键字

• 关键字（key）是任意类型，可以是整型、长整型、字符串甚至是结构体或者类；如下的 a、b、o 都可以是关键字；

int a = 5;
string b = "Hello World!";
class Obj {
    
     };
Obj o;

• 哈希表的实现过程中，我们需要通过一些手段，将一个非整型的关键字转换成整型，然后再对哈希数组的长度进行取模，转换为下标，从而找到它所对应的位置，实现快速关键字查找。如图二-1-2所示：

图二-1-2

• 而将一个非整型的关键字转换成整型的手段就是 哈希函数。

3）哈希函数

• 哈希函数可以简单的理解为就是小学课本上那个函数，即 $y=f(x)$，这里的 $f(x)$ 就是哈希函数，$x$ 是关键字，$y$ 是值。好的哈希函数应该具备以下两个特质：

• 1）单射（或者叫 一一映射）；

• 2）雪崩效应：输入值 $(x)$ 的 1 位的变化，能够造成输出值 $(y)$ 1/2 的位的变化；

• 单射很容易理解，如图二-1-3所示。图 $(a)$ 中已知哈希值 $y$ 时，键 $x$ 可能有两种情况，不是一个单射；而图 $(b)$ 中已知哈希值 $y$ 时，键 $x$ 一定是唯一确定的，所以它是单射。由于 $x$ 和 $y$ 一一对应，所以在没有取模之前，至少是没有冲突的，这样就从本原上减少了冲突。

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• 雪崩效应是为了让哈希值更加符合随机分布的原则，哈希表中的键分布的越随机，利用率越高，效率也越高。
  

  图二-1-3

• 整数的哈希函数比较简单，可以为自身：$$hash(x)=x$$

• 字符串的哈希函数设计的时候，一般是遍历整个字符串进行某种运算，最后得到的是一个长整型；
  $$hash(s)=9456043234891890ll$$

• 类的哈希函数，设计的时候可以先实现一个 toString 接转化成字符串，然后再对这个字符串进行字符串哈希；

4）值

• 这里的值 （value），就对应了上文提到的哈希数组的类型；
• 整个哈希过程就是通过 关键字 (key) 找 值 (value) 的过程。

2、简单下标哈希

• 简单下标哈希就是利用关键字直接访问数组元素，省去了计算哈希值、取模、以及寻址的过程，如图二-2-1所示：

图二-2-1

• 查找时间复杂度 $O(1)$ 。但是对关键字要求较高，首先必须是整数，其次是关键字的范围必须严格控制在哈希数组范围内。

图二-2-2

• 上图中，圆形代表了关键字，方形格子则代表了哈希数组，箭头表示下标访问。
• 例如：一共 4 个人，编号为 $(1,3,4,6)$，现在要存储每个人的年龄，那么用一个数组int age[8]就可以存储了。访问的时候直接通过下标就能 获取/设置 对应编号的人的年龄，这个存取的过程就是最简单的下标哈希了。

int age[8];
age[1] = 34;
printf("%d\n", age[3]);

• 这种简单下标哈希在之前的章节已经有大量的应用，比如：
• 1）并查集：对每个元素映射到对应集合的时候采用的就是下标哈希，fset[i] = i;代表 $i$ 这个元素所属的集合编号；

const int MAXN = 300010;
int fset[MAXN];

void init(int n) {
    
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    
    
        fset[i] = i;
    }
}

• 2）字典树：在对子结点nodes_[]进行存储的时候，字母减去了一个偏移量后映射到数组中，采用的也是下标哈希；

const int TRIE_NODE_COUNT = 26;
class TrieNode {
    
    
private:
    int nodes_[TRIE_NODE_COUNT];
};

• 3）二分图：在染色算法中，每个结点的颜色存储到color_[]数组时，用到的也是简单下标哈希；

    if (color_[v] == -1) {
    
    
        color_[v] = 1 - color_[u];
        Q.push(v);
    }

3、散列哈希

• 接下来，我们来介绍一下更加一般的情况，即通过一个不在数组范围内的整型（或长整型），通过计算得到它的值。如图二-3-1所示：

图二-3-1

1）哈希值离散

• 实际问题中，我们的数组可能没有那么大，或者哈希值比较离散，离散的反义词是连续，例如：$(1、3、4、6)$ 相对于 $(1、2、3、4)$ 就是离散的。如图二-3-2所示：

图二-3-2

• 数组的长度只有 4，但是我们的哈希值分别为 1、3、4、6，无法采用下标进行映射；

2）除留余数法

• 由于数组长度为 4，所以我们可以将哈希值 模 4 再进行映射，如图二-3-3所示：

图二-3-3

• 比如用 $x$ 代表哈希值，$f(x)$ 代表实际映射的下标，则有如下公式：$$f(x)=x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$$
• 这样做虽然解决了哈希值离散的问题，同时也带来了另一个问题，那就是 哈希冲突。

3）哈希冲突

• 所谓哈希冲突，就是两个不同的哈希值通过取模映射到了同一个下标。这样就会产生二义性，如图二-3-4 所示：

图二-3-4

• 图中 1 和 9 模 4 的余数都为 1，所以都映射到了下标为 1 的位置，这样取的时候就无法知道原哈希值到底是 1 还是 9 了。于是，就需要有一些应对哈希冲突的解决方案，常用的有：链地址法、开放寻址法、再散列法。

a. 链地址法

• 数组存储值数据的链表头，将所有取模后一样的哈希值用链表串起来，查找的时候先取模找到对应下标位置，然后在对应链表上遍历找到对应哈希值的数据。如图二-3-5所示：

图二-3-5

• 这种方法对哈希值要求比较高，必须尽量平均分布。考虑一种极端情况：所有哈希值都模 4 同余，那么它们会映射到同一个下标，导致最后的结构退化成了链表，查找效率退化为 $O(n)$。

b. 开放寻址法

• 数组存储值数据，如果遇到取模后发现已经有数据，则往数组后移一位，如果还有继续移动，直到找到一个空闲位置，如图二-3-6所示：
  图二-3-6
• 哈希值 9 对 4 取模以后值为 1，但是发现下标为 1 的位置上已经有元素了，于是往后继续找一个，找到下标为 2 的位置，于是产生映射 $f(9)=2$。
• 这种方法对不同的哈希值的个数要求有限制，必须小于等于哈希数组大小，否则永远找不到就会产生死循环。而且随着哈希值增多，插入和查找效率下降。

4）负载因子

• 无论是链地址法还是开放地址法都会遇到一个问题，就是一旦数据量上去以后，都会导致查找效率下降，于是，这里引入一个负载因子的概念：
  $$负载因子=哈希值个数/数组长度$$
• 对于链地址法来说，负载因子 > 5 就要考虑 rehash 了；而对于开放寻址法，负载因子 > 0.7 时，考虑 rehash，那么什么是 rehash 呢？

5）rehash

• 所谓 rehash，就是申请一块新的空间，空间的大小为原哈希数组的两倍，然后把原有的数据全部取出来映射到新的哈希数组里，再释放原有哈希数组。
• 实际实现的时候，为了减少申请空间带来的开销，一般是预先就一直有两个哈希数组（指针），然后采用滚动的方式进行扩容，扩容完毕交换指针。
• 并且由于一次 rehash 的耗时可能较长，一般采用渐进式 rehash，分散 CPU 的执行时间，具体细节可以参考 redis 源码的实现，这里不再展开来说了。

6）取模位运算优化

• 哈希数组的长度一般选择 2 的幂，因为我们知道取模运算是比较耗时的，而位运算相对较为高效；
• 选择 2 的幂作为数组长度，可以将 取模运算 转换成 二进制位与(&)；
• 令 $S=2^k$，那么它的二进制表示就是：$S=(1\underset{\mathrm{k}}{\underbrace{000...000}}{)}_2$，任何一个数模上 $S$，就相当于取了 $S$ 的二进制低 $k$ 位，而 $S-1=(\underset{\mathrm{k}}{\underbrace{111...111}}{)}_2$ ，所以和 位与 $S-1$ 的效果是一样的。
  $$x\%S==x\&(S-1);$$

4、散列哈希的实现

• 这里介绍一种简单的哈希再散列的实现，为了尽量简化代码，假设了几个问题：
• 1）不涉及 rehash：因为哈希数组长度足够大，元素个数可控；
• 2）不考虑负载因子：因为不进行 rehash ，自然也不用考虑负载因子了；
• 3）采用开放寻址法：不用链地址法，避免申请堆内存的开销；
• 先给出代码，再进行讲解：

#define HashValueType long long 
const int MAXH = (1 << 20);
bool hashkey[MAXH];                        // 1）
HashValueType hashval[MAXH];               

int getKey(HashValueType val) {
    
    
    int key = (val & (MAXH-1) );           // 2）
    while (1) {
    
    
        if (!hashkey[key]) {
    
                   // 3）
            hashkey[key] = true;
            hashval[key] = val;
            return key;
        }
        else {
    
    
            if (hashval[key] == val) {
    
    
                return key;               // 4）
            }
            key = (key + 1) & (MAXH - 1); // 5）
        }
    }
}

• 这个函数实现的是：通过给定的哈希值 $val$，找到哈希表中哈希值对应的下标索引 $key$，如果找不到则进行插入；
• 1）bool hashkey[key]表示映射后 $key$ 这个下标位置是否有元素，HashValueType hashval[key]表示下标为 $key$ 这个位置的元素的值，可以是任意类型，HashValueType是一个宏定义，代表哈希数组值的类型。
• 2）除留余数法对传进来的元素进行一次取模，并且采用 位与 代替，利用位运算加速；
• 3）如果对应的 $key$ 在这个位置没有出现过，则代表找到了一个合法位置，则 $key$ 的槽位留给 $val$；
• 4）如果对应的 $key$ 的槽位正好和 $val$ 匹配，则说明哈希表已经存在过 $val$ 这个元素，返回 key；
• 5）没有找到合适的 $key$ 位置， 进行二次寻址；
• 那么，我们可以根据类似的方法实现一个只查找不插入的方法，实现如下：

bool hasKey(HashValueType val) {
    
    
    int key = ( val & (MAXH-1) );
    while (1) {
    
    
        if (!hashkey[key]) {
    
    
            return false;
        }
        else {
    
    
            if (hashval[key] == val) {
    
    
                return true;
            }
            key = (key + 1) & (MAXH - 1);
        }
    }
}

5、字符串哈希

• 最后，我们来了解下对于字符串类型的关键字，如何计算哈希值，也就是如图二-5-1所示的这一步。

图二-5-1

1）B 进制

• 对于一个字符串：“1314”，我们可以认为它是一个十进制数，那么转化成十进制整数就是：
  $$1\ast 10^3+3\ast 10^2+1\ast 10^1+4\ast 10^0=1314$$
  也可以认为它是个 8 进制数，那么转化成十进制就是：
  $$1\ast 8^3+3\ast 8^2+1\ast 8^1+4\ast 8^0=716$$
  同样，也可以认为它是个 16 进制数，那么转化成十进制就是：
  $$1\ast 16^3+3\ast 16^2+1\ast 16^1+4\ast 16^0=4884$$
• 更加一般的，所有大于 4 的进制都是可以唯一表示这个字符串的；
• 对于任意一个字符串，其实都是由 ASCII 字符组成，而每个字符都用 1 个字节表示，即它的范围是 $[0,255]$，所以我们可以用大于 255 的数来代替进制 B，即任意一个长度为 $k$ 的字符串 $s$ 可以表示为唯一的整数如下（其中 $s[i]$ 代表第 $i$ 个字符的 ASCII 码值，$i$ 下标从 1 开始）：$$hash(s)=s[1]\ast B^{k-1}+s[2]\ast B^{k-2}+...+s[k]\ast B^0$$ $$(B>=256)$$

2）取模

• 随着字符串长度不断变大，算出来的哈希值会越来越大，从而产生溢出，所以一般采取模上一个较大的素数的形式，如下：
  $$hash(s)=(s[1]\ast B^{k-1}+s[2]\ast B^{k-2}+...+s[k]\ast B^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P$$
• 这样做仍然能够保证相同的字符串计算得到的哈希值是一样的，但是却无法保证不相同的字符串计算的哈希值不同，所以为了尽量不让不同的字符串映射到相同的整数，$P$ 的取值很关键，一般采取较大的素数的形式，进一步的，$B$ 也选择一个和 $P$ 互素的素数；

3）自然溢出

• 根据补码的性质， C++ 中如果定义 unsigned long long，溢出的部分等同于对 $P=2^{64}$ 取模，这样就可以无视取模，任其自然溢出了。
• 自然溢出有利有弊：好处就是效率会高出不少，而且能够表示的范围已经是长整型能够表示的最大范围，很大程度上减少哈希冲突；坏处就是取模效果没有素数来的好，对于一些特殊构造的数据，容易造成不相同的字符串计算出相同的哈希值的情况；

4）双哈希

• 当有大量字符串时，这种冲突会被放大，我们可以通过取两对 $(B[0],P[0]),(B[1],P[1])$ 的值，进行双哈希，然后取两次哈希的值组成一个新的哈希值，从而大大减少冲突的概率。
  $$hash(0,s)=(s[1]\ast B[0{]}^{k-1}+s[2]\ast B[0{]}^{k-2}+...+s[k]\ast B[0{]}^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P[0]$$ $$hash(1,s)=(s[1]\ast B[1{]}^{k-1}+s[2]\ast B[1{]}^{k-2}+...+s[k]\ast B[1{]}^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P[1]$$ $$hash(s)=hash(0,s)\ast max(P[0],P[1])+hash(1,s)$$
• 得到的哈希值再进行散列哈希映射到下标即可。

5）子串哈希值

• 对于一个字符串 $s$， $s[l:r]$ 代表 $s$ 从 $l$ 到 $r$ 的子串；
• $hash(s[1:1])=(s[1]\ast B^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P$
• $hash(s[1:2])=(s[1]\ast B^1+s[2]\ast B^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P$
• $hash(s[1:3])=(s[1]\ast B^2+s[2]\ast B^1+s[3]\ast B^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P$
• $hash(s[1:4])=(s[1]\ast B^3+s[2]\ast B^2+s[3]\ast B^1+s[4]\ast B^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P$
• $hash(s[1:5])=(s[1]\ast B^4+s[2]\ast B^3+s[3]\ast B^2+s[4]\ast B^1+s[5]\ast B^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P$
• 那么我们如何求 $hash(s[3:5])$ 呢？
• 直接对字符串遍历，得到的结果为 $hash(s[3:5])=(s[3]\ast B^2+s[4]\ast B^1+s[5]\ast B^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P$，那么通过如下减法，得到：
  $$\begin{array}{rl}hash(s[1:5])-hash(s[3:5])& =(s[1]\ast B^4+s[2]\ast B^3)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P\\ & =B^3\ast (s[1]\ast B^1+s[2]\ast B^0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P\\ & =B^3\ast hash(s[1:2])\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P\end{array}$$
• 移项后整理式子，得到：
  $$hash(s[3:5])=(hash(s[1:5])-B^3\ast hash(s[1:2]))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P$$
• 那么对于更加一般的情况，令 $h(r)=hash(s[1:r])$，有：
  $$hash(s[l:r])=(h(r)-B^{r-l+1}\ast h(l-1))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P$$
• 其中 $h(i)$ 和 $B^i$ 都可以事先一次线性扫描预处理后放在数组中，则每次取子串哈希值的时间复杂度为 $O(1)$。

三、哈希表的应用

1、代替排序

【例题1】给定 $n(n<10^6)$ 个 $[-10^6,10^6]$ 范围内的整数 ，请按从大到小的顺序输出其中前 $m$ 大的数。

• 这是一个经典排序问题。时间复杂度 $O(nlogn)$，基本也能接受。
• 但是，还有一种更加简单的办法，就是开一个 $2\ast 10^6$ 的哈希数组，然后将所有输入的数字加上一个偏移量 $10^6$ 后，哈希到数组中进行标记，最后来一次全范围的扫描输出即可。

2、多元方程的整数解数

【例题2】给定一个方程 $x\ast a+y\ast b+z\ast c=d$，其中 $a,b,c,d$ 已知，$(0<=x,y,z<=1000)$，求满足条件的 $x,y,z$ 的解数。

• 这是一个可以利用哈希表来求解的经典问题，朴素的做法就是三层循环枚举所有满足条件的 $x，y，z$，然后判断计算结果是否为 $d$，这样的时间复杂度为 $O(n^3)$，肯定是无法接受的。
• 可以将等式进行移项，变成如下形式：
  $$x\ast a+y\ast b=d-z\ast c$$
• 我们可以通过枚举 $z$，将所有计算得到的 $d-z\ast c$ 的值映射到哈希表中，记录下每个结果出现的次数，然后两层循环枚举 $(x,y)$ ，看枚举计算得到的值 $x\ast a+y\ast b$ 在哈希表出现的次数，累加所有的这些和就是最后的答案了，整个算法的时间复杂度即枚举的时间复杂度，为 $O(n^2)$。
• 再来看一个简单的变种。

【例题3】给定 5 个 $n(n<=200)$ 个整数的集合 $a[i][j](0<=i<5,0<=j<n)$ ，问是否存在一个下标五元组$(i,j,k,l,m)$，满足如下等式： $$a[0][i]+a[1][j]+a[2][k]+a[3][l]+a[4][m]=0$$

• 朴素的做法就是枚举这个五元组 $(i,j,k,l,m)$，对数组中的五个数加和后进行判零，但是这样做的时间复杂度为 $O(n^5)$。

• 考虑将等式做一个变换如下：
  $$a[0][i]+a[1][j]=-(a[2][k]+a[3][l]+a[4][m])$$

• 那么我们如果把前两个数组的数字加和都枚举出来，然后加到哈希表中，然后就可以通过枚举后面三个数组的加和，取相反数以后去哈希表里面找，如果找到一个就算满足条件了，时间复杂度为 $O(n^3)$。

• 再来看一个更加复杂点的情况，原理还是一样，都是运用了哈希表的特性。

3、状态哈希

• 状态哈希 在 动态规划 和 广度优先搜索 中有着广泛的应用，不理解也没有关系，来日方长，这一章先简要介绍一下，毕竟我当年理解状态的概念，也花了很久的时间。

1）动态规划的状态哈希

• 之前在讲动态规划的时候，强调了状态的概念，那么这一章我们再强化一下。

【例题5】一个 $n\times m(n\ast m<=10^6)$ 的棋盘，作者从左上角出发，只能往右或者往下，每个格子颜色不同，不同颜色对应不同分数，求到达右下角的最大分数。

图三-3-1

• 这个问题是最简单的 二维DP 了，基本上一眼就能看出状态转移方程：$$dp[i][j]=val(i,j)+max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])$$
• $dp[i][j]$ 代表从左上角 $(1,1)$ 走到 $(i,j)$ 的最大分数， $(i,j)$ 代表位置也代表状态。
• 但是，由于 $n$ 和 $m$ 的最大乘积为 $10^6$，所以极端情况下：$n=10^6，m=1$ 或者 $n=1，m=10^6$ 的情况都是有可能出现的，这样就不能用二维数组了，那么我们能不能拿 $i$ 和 $j$ 的乘积作为状态表示呢？
• 答案是不能！
• 因为 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 不是同一个状态。
• 于是，我们结合今天学习的知识，联想到了可以将 $i$ 和 $j$ 作为一个二元组，映射到一个长整型，即：
  $$(i,j)\to (i\ast 10^9+j)$$
• 然后就可以用散列哈希进行状态存储了。

2）广度优先搜索的状态哈希

• 广度优先搜索往往用来求解一些最短路问题，比如 迷宫问题、数码问题、推箱子游戏 等等，要求用最少的步数，到达某个位置或者完成某个目标，这里举一个最简单的例子。

【例题6】一个$n\times m(n,m<=100)$ 的迷宫，绿色的格子代表可以走，红色的格子是岩浆不能走，地图上有两个人他们以相同的方式往四个方向 上、下、左、右 走，每走一格需要一刻时间，问两人相遇的最短时间为多少。

图三-3-2

• 这是个经典的广度优先搜索问题，如果用深度优先搜索来做，状态空间太大，时间复杂度是指数级的。而广搜的时间复杂度为 $O(nm)$，之所以能够把时间复杂度控制在多项式级别，是因为走过的位置会被标记掉。
• 这个问题只要考虑一个人从起点走到终点就行，对最后的时间进行除二处理，考虑下奇偶性。
• 每个位置 $(i,j)$ 就代表了状态，用 $time[i][j]$ 代表从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 花费的最短时间，初始化为最大值，利用队列扩展状态，每走到一个点判断当前的时间是否比 $time[i][j]$ 小，如果大于等于的话就没必要入队了，直到队列为空或者到达目的地则搜索完毕。
• 这个问题就告一段落了。
• 但是，并不是所有问题中，位置代表状态，来看一个经典的游戏 —— 推箱子。
  图三-3-3
• 这个问题中，推箱子的人两次访问同一个位置时，整个地图的状态是不一样的，因为箱子的位置变了。
• 没错！在这个问题中，状态要用 人 和 所有箱子 的位置（6个坐标）来表示。限于篇幅，就不再展开了。这个问题会在讲解广度优先搜索的时候再进行详细讲解。

4、最长回文串

【例题7】给定一个字符串，最多 $10^6$ 个字符，求最长回文子串的长度。例如字符串 “abacdcbaaaab”，最长回文子串的长度为 “baaaab”，所以答案为 6 。

• 思路就是枚举一个中心，然后二分长度，对于二分到的长度用字符串哈希在 $O(1)$ 的时间判断两边的字符串是否相等。由于字符串哈希是单向的，而回文串的方向是往相反方向扩散，所以需要将字符串预处理哈希后，逆序再预处理一次哈希。
• 对于字符串从下标 1 开始，罗列如下：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
a	b	a	c	d	c	b	a	a	a	a	b

• 将字符串进行逆序后得到：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
b	a	a	a	a	b	c	d	c	a	b	a

• 回文子串的长度有可能是奇数，也有可能是偶数，所以需要分情况讨论：
• 对于奇数的情况，如果枚举的中心下标为 $i$，则能够扩散的长度为 $l\in [1,min(len-i+1,i)]$ ，二分这个长度，然后判断原字符串的子串 $[i-l+1,i]$ 和 逆序字符串的子串 $[len-i-l+2,len-i+1]$ 是否相等，相等则扩大二分区间；否则，减少；

图三-4-1

• 对于偶数的情况，如果枚举的中心下标为 $i$，则能够扩散的长度为 $l\in [0,min(len-i,i)]$ ，二分这个长度，然后判断原字符串的子串 $[i-l+1,i]$ 和 逆序字符串的子串 $[len-i-l+1,len-i]$ 是否相等，相等则扩大二分区间；否则，减少；
  图三-4-2

5、最长公共子串

【例题8】给定两个长度不超过 400000 的字符串，求两个串的最长公共子串的长度。

• 二分一个长度 L，在第一个串上作给定长度 L 的所有子串的字符串哈希，并且散列到哈希数组中，然后在第二个子串上进行枚举长度为 L 的子串，看哈希数组中是否存在，一旦存在，说明最长公共子串的长度至少为 L，二分的答案扩大；否则，答案缩小；

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• 本文所有示例代码均可在以下 github 上找到：github.com/WhereIsHeroFrom/模板/HASH

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四、哈希题集整理

题目链接	难度	解法
HDU 1264 Counting Squares	★☆☆☆☆	简单下标哈希
HDU 1425 sort	★☆☆☆☆	简单下标哈希
HDU 2523 SORT AGAIN	★☆☆☆☆	简单下标哈希
HDU 2217 Visit	★☆☆☆☆	简单下标哈希
HDU 2220 Encode the tree	★☆☆☆☆	简单下标哈希
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HDU 4622 Reincarnation	★★★★★	字符串哈希 或 后缀自动机
HDU 6646 A + B = C	★★★★★	字符串哈希
PKU 3274 Gold Balanced Lineup	★★★★★	散列哈希