夜深人静写算法（十八）- 辛普森积分

一、引例

1、简单函数积分

• 今天来讲下求函数定积分的程序近似方法，如果对高等数学已经忘得差不多的同学，可以跳过推导过程；
• 首先来看一个函数：
  $$f(x)=20\ast sin(\frac{x}{5})+\frac{x}{3}+20$$
• 它的函数图像如下图所示：
  
• 现在需要求下图中红色部分的面积，也就是求原函数在区间 $[30,80]$ 的定积分；
  
• 表示成数学式如下：
  $$\begin{array}{rl}{\int }_{30}^{80}f(x)dx=& {\int }_{30}^{80}(20\ast sin(\frac{x}{5})+\frac{x}{3}+20)dx\\ =& {\int }_{30}^{80}(-100\ast cos(\frac{x}{5})+\frac{x^2}{6}+20x+C)dx\\ =& (-100\ast cos(\frac{80}{5})+\frac{80^2}{6}+20\ast 80+C)-(-100\ast cos(\frac{30}{5})+\frac{30^2}{6}+20\ast 30+C)\\ \approx & 2108.449643364\end{array}$$

2、复杂函数积分

• 上面的例子能够求出原函数的积分，所以问题较为简单，但是当原函数的积分不是那么好求的时候，想要求这个面积，就没有那么简单了，比如这个函数：$$g(x)=e^{sin(\frac{e^x}{cosx})}$$
• 接下来介绍几种利用程序来近似求解的方法；

二、梯形法则

1、梯形法则原理

• 梯形法则就是将每一小段的曲线段近似成线段，只要足够小，就能和曲线段完全吻合；
  
• 如上图，蓝色部分就是一个竖着的梯形，两条平行于 $y轴$ 的线段就是梯形的上底和下底，和曲线看上去重合的线段就是那个小区间上的近似线段；
• 梯形法则的核心就是将区间切分成足够小的精度，每个切分的块被看成是一个一个梯形，梯形的面积等于$$S=\frac{(上底+下底)\ast 高}{2}$$，最后将这些梯形的面积累加即可；

2、梯形法则实现

• 来看下 C++ 代码实现：

#define ValType double

ValType _ladder(ValType u, ValType d, ValType h) {
    
    
	return (u + d) * h;                                   // 1)
}

// 梯形法则
ValType ladder(ValType s, ValType t, ValType cnt) {
    
    
	ValType sum = 0;
	ValType step = (t - s) / cnt;                        // 2)
	ValType prex = s, prey = f(s);
	ValType nowx, nowy;
	for (ValType x = s; x < t; x += step) {
    
    
		nowx = x;
		nowy = f(nowx);
		sum += _ladder(prey, nowy, step);                // 3)
		prex = nowx; 
		prey = nowy;                                     // 4) 
	}
	nowx = t;
	nowy = f(nowx);
	sum += _ladder(prey, nowy, nowx - prex);             // 5) 
	return sum / 2;
}

• 1）计算面积涉及到除法，而且都是除 2，可以放在最后做，提升一丝丝效率；
• 2）根据 cnt 计算次数算出步长；
• 3）累加每一个小梯形的面积；
• 4）上一个梯形的底边就是这个梯形的另一个底边，减少一次 f(x) 的计算；
• 5）最后一块梯形可能不是整除的，所以需要额外加上最后一块梯形的面积；

-	-
梯形法则(分段100)	2120.495642592
梯形法则(分段10000)	2108.571685833
梯形法则(分段1000000)	2108.450863877
实际积分	2108.449643364

• 实际跑下来，根据分段不同，误差也不同，分段越多误差越小，但是我们发现，即使分成了 1000000 段，最后的误差也有 $1e-3$，而且当区间变大，这个误差也会越来越大；
• 所以这种算法的时间复杂度是不接预估的，而且不具备普适性；

三、辛普森积分

1、线段拟合

• 在利用梯形法则的时候，关注梯形的那条斜边就会发现，用线段去近似曲线段的时候，总是有那么一小块面积是存在误差的；
• 如图所示，蓝色曲线为原曲线，红色线段为近似线段，灰色部分代表误差面积；
  

2、抛物线拟合

• 那么我们如何减少这种误差呢？来看下面这个图：
  
• 我们把原来用直线去拟合的方式改成抛物线（二次曲线），即图中黄色的曲线段，只要这条抛物线选择的恰到好处，误差就可以降到很小；那么原本我们可以利用梯形公式来求面积，现在斜边变成了一个抛物线段，如何求它的面积呢？
  
• 我们把刚才的拟合曲线放到实际的场景中，如图所示，蓝色曲线为原曲线，黄色线段为拟合后的抛物线，红色的就是近似面积，用来代替原曲线围成的面积，那么我们发现，这里的红色部分其实就是黄色抛物线在区间 $[s,t]$ 上的定积分；

3、抛物线的定积分

• 这里引入一个二次函数（即抛物线） F(x) ，这个二次函数的表示为：
  $$F(x)=a{x}^2+bx+c$$

• 求出 F(x) 这个函数的积分，有：
  $$\int F(x)dx=\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{2}{x}^2+cx+d$$
  则有定积分：
  $$\begin{array}{rl}1){\int }_s^{t}F(x)dx=& (\frac{a}{3}{t}^3+\frac{b}{2}{t}^2+ct+d)-(\frac{a}{3}{s}^3+\frac{b}{2}{s}^2+cs+d)\\ 2){\int }_s^{t}F(x)dx=& \frac{a}{3}(t^3-s^3)+\frac{b}{2}(t^2-s^2)+c(t-s)\\ 3){\int }_s^{t}F(x)dx=& \frac{a}{3}(t-s)(t^2+ts+s^2)+\frac{b}{2}(t-s)(t+s)+c(t-s)\\ 4){\int }_s^{t}F(x)dx=& (t-s)(\frac{a}{3}(t^2+ts+s^2)+\frac{b}{2}(t+s)+c)\\ 5){\int }_s^{t}F(x)dx=& \frac{(t-s)}{6}(2a(t^2+ts+s^2)+3b(t+s)+6c)\\ 6){\int }_s^{t}F(x)dx=& \frac{(t-s)}{6}(2a{t}^2+3bt+2a{s}^2+3bs+2ats+6c)\\ 7){\int }_s^{t}F(x)dx=& \frac{(t-s)}{6}((a{t}^2+bt+c)+(a{s}^2+bs+c)+(a{t}^2+2bt+a{s}^2+2bs+2ats+4c))\\ 8){\int }_s^{t}F(x)dx=& \frac{(t-s)}{6}((a{t}^2+bt+c)+(a{s}^2+bs+c)+4(a(\frac{(s+t)}{2}{)}^2+b(\frac{(s+t)}{2})+c)\\ 9){\int }_s^{t}F(x)dx=& \frac{(t-s)}{6}(F(t)+F(s)+4F(\frac{(s+t)}{2}))\end{array}$$

• 1）根据定积分的定义，代入 s 和 t，并且将两端点的值相减；

• 2）合并同类项，按照次幂归类，3次幂归一类，2次幂归一类，1次幂归一类；

• 3）4）提取公因式$(t-s)$;

• 5）6）将$\frac{a}{3}$ 和 $\frac{b}{2}$ 化成整数方便计算；

• 7）8）将 $t$ 和 $s$ 相关的量提取出来，凑成 $F(t)$ 和 $F(s)$ 的形式；

• 9）将积分全部转换成原函数的表示；

• 于是，我们可以得出结论：

二次函数的定积分可以用原函数来表示，表示如下（其中 s 和 t 为定积分的两个端点，(s+t)/2 为这两个端点在x坐标的中点）：

$${\int }_s^{t}F(x)dx=\frac{(t-s)}{6}(F(t)+F(s)+4F(\frac{(s+t)}{2}))$$

• 这个公式就是辛普森积分公式；

4、辛普森积分实现

• 实现就相对比较简单了，直接套用公式即可；

ValType simpson(ValType s, ValType t) {
    
    
	ValType m = (s + t) / 2;
	return (t - s) / 6 * (f(s) + 4 * f(m) + f(t));
}

• 这里的函数 f 我们可以任意定义一个二次函数，来看下效果：

ValType f(ValType x) {
    
    
	return 27 * x*x - 36 * x + 65;
}

• 求 这个函数在区间 $[30,80]$ 的定积分如下：

-	-
梯形法则(分段100)	4280948.750000000
梯形法则(分段10000)	4269366.430625989
梯形法则(分段1000000)	4269251.164108668
辛普森积分公式	4269250.000000000
实际积分	4269250.000000000

四、自适应辛普森积分法

• 然而，实际情况并非如此，并不是所有的曲线都能和二次曲线完美契合的，就像这个函数
  $$f(x)=20\ast sin(\frac{x}{5})+\frac{x}{3}+20$$ 如果套用辛普森积分后的结果是这个样子的：

-	-
梯形法则(分段100)	2120.495642592
梯形法则(分段10000)	2108.571685833
梯形法则(分段1000000)	2108.450863877
辛普森积分公式	1155.453393156
实际积分	2108.449643364

• 原因相信大家都已经知道了，参考梯形法则，我们是可以把它分段的，但是传统的分段，又会陷入和梯形法则一样的窘境：

切分太细，实现复杂度太高；
切分太粗，精度不高；

• 所以，自适应辛普森积分法就诞生了！
• 来看这么一个公式：
  $${\int }_s^{t}F(x)dx={\int }_s^{mid}F(x)dx+{\int }_{mid}^{t}F(x)dx$$
• 利用这个公式，我们可以把区间不断的进行二分，然后把每个区间分别和不同的二次函数进行拟合来提高计算精度，来看下具体实现：

ValType self_adapt_simpson(ValType s, ValType t, ValType simpsonval) {
    
    
	ValType m = (s + t) / 2;
	ValType lval = simpson(s, m);                      // 1) 
	ValType rval = simpson(m, t);                      // 2)
	ValType reval = lval + rval;
	if (fabs(reval - simpsonval) < EPS) {
    
                  // 3)
		return reval;
	}
	return self_adapt_simpson(s, m, lval) + self_adapt_simpson(m, t, rval);
}

• 1）对左半部分进行辛普森积分求解；

• 2）对右半部分进行新浦僧积分求解；

• 3）这里是精髓，也是递归函数的出口，当切分后的结果和不切分的结果的精度已经小于一定精度时，我们就没必要再进行递归切分了，而且我们知道切分的结果一定比不切分更加精确，所以这时候直接返回切分后的结果即可；EPS 的取值比较关键，当要求精度为小数点后 5 位时，保险点可以选取 $1e-9$ （不要选择 $1e-5$）；

• 最后来看下实际运行结果：

-	-
梯形法则(分段100)	2120.495642592
梯形法则(分段10000)	2108.571685833
梯形法则(分段1000000)	2108.450863877
辛普森积分公式	1155.453393156
自适应辛普森积分	2108.449643365
实际积分	2108.449643364

• 附上辛普森积分的源码，希望对大家理解有帮助：自适应辛普森积分类封装

五、自适应辛普森积分题讲解

• 最后，介绍几个自适应辛普森积分的例子帮助理解。

1、HDU 1724 Ellipse

• 链接：HDU 1724 Ellipse

• 题意：求一个椭圆被两条平行于y轴的直线围起来的面积；
  

• 难度：★☆☆☆☆

• 题解：自适应辛普森模板题。这块面积是关于 x 轴对称的，所以只要计算上半部分的面积，上半部分的面积就是函数 $y=b\sqrt{1-(\frac{x}{a}{)}^2}$ 在 $[L,R]$ 区间上的定积分，利用自适应辛普森积分求值后乘上$2$即可，需要注意精度，1e-6 过不了，1e-7 可过；

2、LUOGU P4525【模板】自适应辛普森法1

• 链接：P4525 【模板】自适应辛普森法1
• 题意：求积分 $${\int }_L^R\frac{cx+d}{ax+b}$$
• 难度：★☆☆☆☆
• 自适应辛普森模板题。直接套公式即可；

3、LUOGU P4526【模板】自适应辛普森法2

• 链接：P4526【模板】自适应辛普森法2
• 题意：求积分 $${\int }_0^{\infty }{x}^{\frac{a}{x}-x}\mathrm{d}x$$
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：当 $a<0$ 时，x 无限趋近于 0 时，原函数的值无穷大，所以这时候函数不收敛，所以直接输出 orz；
• 当 $a>=0$ 时，函数图像基本如下图所示：
  直接套用 自适应辛普森，由于 $x=0$ 的时候 $x$ 在分母上，所以这里可以用一个比较小的精度 $1e-8$ 作为下界；又由于收敛比较快，而且 $a<=50$，所以上界不是一个很大的值，基本确定 20 就可以了；原积分化简为：
  $${\int }_{1e-8}^{20}{x}^{\frac{a}{x}-x}\mathrm{d}x$$